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10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
d) Combien de nombres ` a la seconde devrions-nous mettre sur un disque compact
pour reproduire le son de fa¸ con convaincante pour un chien ?
5. D’autres temp´ eraments Construire les gammes de Pythagore et de Zarlino,
c’est-` a-dire d´ eterminer les fr´ equences de chacune des notes entre deux la cons´ ecutifs.
Il vous faudra consulter des trait´ es de musique ou explorer quelques pages de la Toile
pour d´ ecouvrir comment ces gammes sont construites.
6. Est-ce que la fonction f : R → R donn´ ee par
f (t) =
1
2
sin 2πt −
1
3
sin 6πt −
1
600
sin 400πt
est p´ eriodique ? Si oui, quelle est sa p´ eriode ? Quels sont ses coefficients de Fourier
non nuls ?
7. a) Trouver les coefficients de Fourier de la fonction f : [0, 1) → R donn´ ee par
f (x) =
1,
0 ≤ x <
1
2 ,
−1,
1
2 ≤ x < 1.
(10.19)
Suggestion : les expressions donnant les c k et s k sont des int´ egrales d´ efinies sur
l’intervalle [0, 1). Partitionner ces int´ egrales en deux, la premi` ere, sur l’intervalle
[0,
1
2 ), et la seconde, sur [
1
2 , 1).
b) Utiliser un langage de manipulation symbolique pour tracer la somme des premiers termes de la s´ erie de Fourier (10.7) associ´ ee ` a cette fonction f . V´ erifier que
cette somme s’approche de la fonction originale.
8. La premi` ere note de la premi` ere sonate de Brahms pour violoncelle et piano est
jou´ ee par le violoncelle seul. Il joue alors une note seule (et non un accord). Le
graphe de la figure 10.12 pr´ esente l’intensit´ e
c 2
k + s 2
k des coefficients de Fourier
pour la fr´ equence k Hz.
a) Identifier la note jou´ ee par le violoncelle sur le clavier de la figure 10.3.
b) Un seul des ´ enonc´ es suivants est vrai. Dire lequel et justifier votre r´ eponse.
1. Une des fr´ equences harmoniques domine la fr´ equence fondamentale.
2. La fr´ equence harmonique la plus importante correspond ` a une note portant un
nom diff´ erent de celui de la note jou´ ee.
3. Le pic `
a 82 Hz ne peut pas ˆ etre per¸ cu par l’oreille humaine.
4. L’axe horizontal du graphe couvre la totalit´ e du spectre audible humain.
5. Selon la phase entre la fr´ equence fondamentale et une harmonique donn´ ee, cette
derni` ere pourrait ne pas ˆ etre entendue.
10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
d) Combien de nombres ` a la seconde devrions-nous mettre sur un disque compact
pour reproduire le son de fa¸ con convaincante pour un chien ?
5. D’autres temp´ eraments Construire les gammes de Pythagore et de Zarlino,
c’est-` a-dire d´ eterminer les fr´ equences de chacune des notes entre deux la cons´ ecutifs.
Il vous faudra consulter des trait´ es de musique ou explorer quelques pages de la Toile
pour d´ ecouvrir comment ces gammes sont construites.
6. Est-ce que la fonction f : R → R donn´ ee par
f (t) =
1
2
sin 2πt −
1
3
sin 6πt −
1
600
sin 400πt
est p´ eriodique ? Si oui, quelle est sa p´ eriode ? Quels sont ses coefficients de Fourier
non nuls ?
7. a) Trouver les coefficients de Fourier de la fonction f : [0, 1) → R donn´ ee par
f (x) =
1,
0 ≤ x <
1
2 ,
−1,
1
2 ≤ x < 1.
(10.19)
Suggestion : les expressions donnant les c k et s k sont des int´ egrales d´ efinies sur
l’intervalle [0, 1). Partitionner ces int´ egrales en deux, la premi` ere, sur l’intervalle
[0,
1
2 ), et la seconde, sur [
1
2 , 1).
b) Utiliser un langage de manipulation symbolique pour tracer la somme des premiers termes de la s´ erie de Fourier (10.7) associ´ ee ` a cette fonction f . V´ erifier que
cette somme s’approche de la fonction originale.
8. La premi` ere note de la premi` ere sonate de Brahms pour violoncelle et piano est
jou´ ee par le violoncelle seul. Il joue alors une note seule (et non un accord). Le
graphe de la figure 10.12 pr´ esente l’intensit´ e
c 2
k + s 2
k des coefficients de Fourier
pour la fr´ equence k Hz.
a) Identifier la note jou´ ee par le violoncelle sur le clavier de la figure 10.3.
b) Un seul des ´ enonc´ es suivants est vrai. Dire lequel et justifier votre r´ eponse.
1. Une des fr´ equences harmoniques domine la fr´ equence fondamentale.
2. La fr´ equence harmonique la plus importante correspond ` a une note portant un
nom diff´ erent de celui de la note jou´ ee.
3. Le pic `
a 82 Hz ne peut pas ˆ etre per¸ cu par l’oreille humaine.
4. L’axe horizontal du graphe couvre la totalit´ e du spectre audible humain.
5. Selon la phase entre la fr´ equence fondamentale et une harmonique donn´ ee, cette
derni` ere pourrait ne pas ˆ etre entendue.