10.5 Exercices
325
qui est la forme propos´ ee par l’´ equation (10.18). Notons finalement que si f varie beaucoup sur un intervalle de largeur Δ, l’approximation que nous venons de faire a peu de
chance de mener ` a une bonne estimation de f . Cet argument n’est pas une preuve. Mais
il souligne le rˆ ole de sinc et le lien entre l’intervalle d’´ echantillonnage Δ et la fr´ equence
maximale contenue dans f .
Ainsi, le th´ eor` eme nous assure qu’il est suffisant d’´ echantillonner la fonction f ` a intervalles Δ ≤
1
2σ pour reconstruire cette fonction. Ou encore, la fr´ equence d’´ echantillonnage
d’une fonction f doit ˆ etre au moins le double de la fr´ equence maximale contenue dans
f . Ceci m` ene donc ` a nouveau `
a la fr´ equence de Nyquist (10.15).
Ce th´ eor` eme porte le nom de plusieurs scientifiques, car il a ´ et´ e d´ ecouvert ind´ ependamment par des chercheurs de domaines fort diff´ erents. C’est en t´ el´ ecommunications et
en traitement du signal qu’il a, encore maintenant, son plus grand impact. Il n’est donc
pas surprenant que ce soient les noms des ing´ enieurs ´ electriciens Kotelnikov, Nyquist et
Shannon qu’on associe le plus fr´ equemment ` a cet ´ enonc´ e. Mais deux math´ ematiciens,
E. Borel et E.T. Whittaker, l’avaient ´ egalement obtenu. De plus en plus, ce th´ eor` eme est
trait´ e dans les cours d’analyse de Fourier pour les math´ ematiciens. (Voir, par exemple,
[4] et [5].)
10.5 Exercices
1. D´ eterminer les fr´ equences des do du piano.
2. D´ emontrer les identit´ es (10.4) et (10.5).
3. a) Montrer que
c k cos 2πkt + s k sin 2πkt =
c 2
k + s 2
k cos(2πk(t + t 0 ))
pour t 0 ∈ [0, 1]. La somme c k cos 2πkt + s k sin 2πkt correspond donc `
a une onde
simple de fr´ equence k translat´ ee dans le temps ; t 0 s’appelle la phase.
b) Montrer que, r´ eciproquement, toute fonction de la forme f (t) = r cos(2πk(t +
t 0 )) peut ˆ etre ´ ecrite sous la forme f (t) = c k cos 2πkt + s k sin 2πkt. Calculer c k et s k
en fonction de r et t 0 .
4. a) Combien de notes toujours audibles par l’oreille humaine pourrait-on ajouter `
a
l’extrˆ eme aigu du piano ?
b) Mˆ eme question pour l’extrˆ eme grave.
c) Certaines races de petits chiens peuvent entendre des fr´ equences allant jusqu’` a 45 000 Hz. Combien d’octaves pourrions-nous ajouter au piano moderne pour
couvrir le registre d’audition canine ?
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qui est la forme propos´ ee par l’´ equation (10.18). Notons finalement que si f varie beaucoup sur un intervalle de largeur Δ, l’approximation que nous venons de faire a peu de
chance de mener ` a une bonne estimation de f . Cet argument n’est pas une preuve. Mais
il souligne le rˆ ole de sinc et le lien entre l’intervalle d’´ echantillonnage Δ et la fr´ equence
maximale contenue dans f .
Ainsi, le th´ eor` eme nous assure qu’il est suffisant d’´ echantillonner la fonction f ` a intervalles Δ ≤
1
2σ pour reconstruire cette fonction. Ou encore, la fr´ equence d’´ echantillonnage
d’une fonction f doit ˆ etre au moins le double de la fr´ equence maximale contenue dans
f . Ceci m` ene donc ` a nouveau `
a la fr´ equence de Nyquist (10.15).
Ce th´ eor` eme porte le nom de plusieurs scientifiques, car il a ´ et´ e d´ ecouvert ind´ ependamment par des chercheurs de domaines fort diff´ erents. C’est en t´ el´ ecommunications et
en traitement du signal qu’il a, encore maintenant, son plus grand impact. Il n’est donc
pas surprenant que ce soient les noms des ing´ enieurs ´ electriciens Kotelnikov, Nyquist et
Shannon qu’on associe le plus fr´ equemment ` a cet ´ enonc´ e. Mais deux math´ ematiciens,
E. Borel et E.T. Whittaker, l’avaient ´ egalement obtenu. De plus en plus, ce th´ eor` eme est
trait´ e dans les cours d’analyse de Fourier pour les math´ ematiciens. (Voir, par exemple,
[4] et [5].)
10.5 Exercices
1. D´ eterminer les fr´ equences des do du piano.
2. D´ emontrer les identit´ es (10.4) et (10.5).
3. a) Montrer que
c k cos 2πkt + s k sin 2πkt =
c 2
k + s 2
k cos(2πk(t + t 0 ))
pour t 0 ∈ [0, 1]. La somme c k cos 2πkt + s k sin 2πkt correspond donc `
a une onde
simple de fr´ equence k translat´ ee dans le temps ; t 0 s’appelle la phase.
b) Montrer que, r´ eciproquement, toute fonction de la forme f (t) = r cos(2πk(t +
t 0 )) peut ˆ etre ´ ecrite sous la forme f (t) = c k cos 2πkt + s k sin 2πkt. Calculer c k et s k
en fonction de r et t 0 .
4. a) Combien de notes toujours audibles par l’oreille humaine pourrait-on ajouter `
a
l’extrˆ eme aigu du piano ?
b) Mˆ eme question pour l’extrˆ eme grave.
c) Certaines races de petits chiens peuvent entendre des fr´ equences allant jusqu’` a 45 000 Hz. Combien d’octaves pourrions-nous ajouter au piano moderne pour
couvrir le registre d’audition canine ?