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10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
2σ. Mais ceci est pr´ ecis´ ement la valeur accord´ ee ` a cette int´ egrale en t = x dans la derni` ere
ligne puisque la valeur sinc(x = 0) est d´ efinie par 1.
Fig. 10.11. La fonction sinc
Pour relier cette derni` ere expression au th´ eor` eme d’´ echantillonnage, nous devons
´ etudier le taux de variation des deux fonctions f (x) et sinc (2σ(t − x)) apparaissant
sous le signe de l’int´ egrale. `
A cette fin, posons Δ =
1
2σ . Puisque σ est la fr´ equence
maximale (et donc un nombre d’oscillations par seconde), la quantit´ e Δ peut ˆ etre vue
comme le temps qui s’´ ecoule, en secondes, entre deux extremums de l’oscillation qui a la
plus grande fr´ equence possible. Si les caract´ eristiques globales de la fonction f varient
peu au cours de Δ secondes, alors les deux valeurs f (t) et f (t + Δ) sont `
a peu pr` es
´ egales. La fonction
sinc (2σ(t − x)) = sinc ((t − x)/Δ),
elle, varie beaucoup plus vite. Notons qu’un accroissement de x ` a x + Δ augmente
l’argument de sinc d’une unit´ e. Or, comme la figure 10.11 le montre, le signe de la
fonction sinc varie quand son argument change d’une unit´ e (sauf lorsque x appartient
` a l’intervalle (−1, 1)). Ainsi, c’est la fonction sinc qui varie le plus rapidement dans
l’int´ egrale ci-dessus. Pour approximer cette int´ egrale, il est alors naturel d’´ echantillonner
(au moins) ` a chaque changement de signe de la fonction sinc, c’est-` a-dire `
a chaque
x = nΔ, n ∈ Z. En rempla¸ cant l’intervalle infinit´ esimal dx par Δ, nous obtenons une
valeur approximative pour f (t) qui est
f (t) ≈ 2σ
∞
n=−∞
f (nΔ) sinc
t − nΔ
Δ
Δ
=
∞
n=−∞
f (nΔ) sinc
t − nΔ
Δ
,
10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
2σ. Mais ceci est pr´ ecis´ ement la valeur accord´ ee ` a cette int´ egrale en t = x dans la derni` ere
ligne puisque la valeur sinc(x = 0) est d´ efinie par 1.
Fig. 10.11. La fonction sinc
Pour relier cette derni` ere expression au th´ eor` eme d’´ echantillonnage, nous devons
´ etudier le taux de variation des deux fonctions f (x) et sinc (2σ(t − x)) apparaissant
sous le signe de l’int´ egrale. `
A cette fin, posons Δ =
1
2σ . Puisque σ est la fr´ equence
maximale (et donc un nombre d’oscillations par seconde), la quantit´ e Δ peut ˆ etre vue
comme le temps qui s’´ ecoule, en secondes, entre deux extremums de l’oscillation qui a la
plus grande fr´ equence possible. Si les caract´ eristiques globales de la fonction f varient
peu au cours de Δ secondes, alors les deux valeurs f (t) et f (t + Δ) sont `
a peu pr` es
´ egales. La fonction
sinc (2σ(t − x)) = sinc ((t − x)/Δ),
elle, varie beaucoup plus vite. Notons qu’un accroissement de x ` a x + Δ augmente
l’argument de sinc d’une unit´ e. Or, comme la figure 10.11 le montre, le signe de la
fonction sinc varie quand son argument change d’une unit´ e (sauf lorsque x appartient
` a l’intervalle (−1, 1)). Ainsi, c’est la fonction sinc qui varie le plus rapidement dans
l’int´ egrale ci-dessus. Pour approximer cette int´ egrale, il est alors naturel d’´ echantillonner
(au moins) ` a chaque changement de signe de la fonction sinc, c’est-` a-dire `
a chaque
x = nΔ, n ∈ Z. En rempla¸ cant l’intervalle infinit´ esimal dx par Δ, nous obtenons une
valeur approximative pour f (t) qui est
f (t) ≈ 2σ
∞
n=−∞
f (nΔ) sinc
t − nΔ
Δ
Δ
=
∞
n=−∞
f (nΔ) sinc
t − nΔ
Δ
,