10.4 La fr´ equence de Nyquist et le pourquoi du 44 100
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supposerons que ces conditions sont satisfaites.) Comme nous l’avons dit, c’est cette
fonction F qui joue, dans la repr´ esentation (10.16), le rˆ ole des coefficients de Fourier
c k et s k dans la repr´ esentation de Dirichlet (10.7). Notons que le domaine de F est R,
alors que les c k et s k sont ´ etiquet´ es par un entier k. Il est donc possible de d´ eriver F
par rapport ` a ω. Voici enfin le th´ eor` eme d’´ echantillonnage.
Th´ eor` eme 10.5 (d’´ echantillonnage) Soit f une fonction dont la transform´ ee de
Fourier F est nulle en dehors de l’intervalle [−σ, σ] pour un certain σ fix´ e. Soit Δ choisi
tel que Δ ≤
1
2σ . Si F est continˆ ument diff´ erentiable, alors la s´ erie
g(t) =
∞
n=−∞
f (nΔ) sinc
t − nΔ
Δ
(10.18)
converge uniform´ ement vers f sur R. (La fonction sinc est donn´ ee en (10.17).)
Nous ne prouverons pas ce th´ eor` eme. Mais nous pouvons expliquer de fa¸ con intuitive
la pr´ esence de la curieuse fonction sinc. Puisque les hypoth` eses du th´ eor` eme affirment
que la transform´ ee F de f est diff´ erente de z´ ero uniquement sur l’intervalle [−σ, σ], la
reconstruction de f ` a l’aide de (10.16) proc` ede par les ´ etapes ´ el´ ementaires suivantes
f (t) =
σ
−σ
F (ω)e
2πiωt dω
=
σ
−σ
∞
−∞
f (x)e
−2πiωx dx
e
2πiωt dω
=
σ
−σ
∞
−∞
f (x)e
2πiω(t−x) dx
dω
1
=
∞
−∞
f (x)
σ
−σ
e
2πiω(t−x) dω
dx
2
=
∞
−∞
f (x)
e
2πiω(t−x)
2iπ(t − x)
σ
−σ
dx
=
∞
−∞
f (x)
e
2πiσ(t−x)
− e
−2πiσ(t−x)
2iπ(t − x)
dx
=
∞
−∞
f (x)
sin(2πσ(t − x))
π(t − x)
dx
= 2σ
∞
−∞
f (x) sinc (2σ(t − x))dx.
Deux remarques sur ces ´ etapes. Premi` erement, l’´ egalit´ e marqu´ ee d’un 1 n’est pas rigoureuse, car, en g´ en´ eral, il n’est pas possible d’intervertir l’ordre de deux int´ egrales.
Deuxi` emement, la primitive obtenue pour l’int´ egration sur la variable ω est juste (´ egalit´ e
marqu´ ee d’un 2), sauf lorsque t = x. En ce point, la primitive devrait ˆ etre ω et l’int´ egrale,
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supposerons que ces conditions sont satisfaites.) Comme nous l’avons dit, c’est cette
fonction F qui joue, dans la repr´ esentation (10.16), le rˆ ole des coefficients de Fourier
c k et s k dans la repr´ esentation de Dirichlet (10.7). Notons que le domaine de F est R,
alors que les c k et s k sont ´ etiquet´ es par un entier k. Il est donc possible de d´ eriver F
par rapport ` a ω. Voici enfin le th´ eor` eme d’´ echantillonnage.
Th´ eor` eme 10.5 (d’´ echantillonnage) Soit f une fonction dont la transform´ ee de
Fourier F est nulle en dehors de l’intervalle [−σ, σ] pour un certain σ fix´ e. Soit Δ choisi
tel que Δ ≤
1
2σ . Si F est continˆ ument diff´ erentiable, alors la s´ erie
g(t) =
∞
n=−∞
f (nΔ) sinc
t − nΔ
Δ
(10.18)
converge uniform´ ement vers f sur R. (La fonction sinc est donn´ ee en (10.17).)
Nous ne prouverons pas ce th´ eor` eme. Mais nous pouvons expliquer de fa¸ con intuitive
la pr´ esence de la curieuse fonction sinc. Puisque les hypoth` eses du th´ eor` eme affirment
que la transform´ ee F de f est diff´ erente de z´ ero uniquement sur l’intervalle [−σ, σ], la
reconstruction de f ` a l’aide de (10.16) proc` ede par les ´ etapes ´ el´ ementaires suivantes
f (t) =
σ
−σ
F (ω)e
2πiωt dω
=
σ
−σ
∞
−∞
f (x)e
−2πiωx dx
e
2πiωt dω
=
σ
−σ
∞
−∞
f (x)e
2πiω(t−x) dx
dω
1
=
∞
−∞
f (x)
σ
−σ
e
2πiω(t−x) dω
dx
2
=
∞
−∞
f (x)
e
2πiω(t−x)
2iπ(t − x)
σ
−σ
dx
=
∞
−∞
f (x)
e
2πiσ(t−x)
− e
−2πiσ(t−x)
2iπ(t − x)
dx
=
∞
−∞
f (x)
sin(2πσ(t − x))
π(t − x)
dx
= 2σ
∞
−∞
f (x) sinc (2σ(t − x))dx.
Deux remarques sur ces ´ etapes. Premi` erement, l’´ egalit´ e marqu´ ee d’un 1 n’est pas rigoureuse, car, en g´ en´ eral, il n’est pas possible d’intervertir l’ordre de deux int´ egrales.
Deuxi` emement, la primitive obtenue pour l’int´ egration sur la variable ω est juste (´ egalit´ e
marqu´ ee d’un 2), sauf lorsque t = x. En ce point, la primitive devrait ˆ etre ω et l’int´ egrale,