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10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
Les ing´ enieurs de Philips et de Sony, sachant que la perception humaine ne d´ epasse
pas la fr´ equence de 20 kHz, ont choisi un nombre (44 100) l´ eg` erement sup´ erieur aux 2 ×
20 000 = 40 000 valeurs prescrites par la borne de Nyquist. Voil` a donc la raison annonc´ ee
au d´ ebut du chapitre. La valeur exacte (44 100 plutˆ ot que 40 000) a ´ et´ e d´ etermin´ ee par
d’autres technologies existantes `
a l’´ epoque [7]. Les premiers appareils d’enregistrement
num´ erique utilisaient les vid´ eocassettes comme support. Or l’image vid´ eo du standard
europ´ een PAL poss` ede 294 lignes par champ vid´ eo, chacune en trois couleurs, et est
rafraˆ ıchie 50 fois `
a la seconde. Ce standard requiert donc 294×3×50 = 44 100 nombres `
a
la seconde. C’est donc un peu par hasard que le nombre pr´ ecis 44 100 a ´ et´ e choisi ; la seule
contrainte que les ing´ enieurs devaient respecter ´ etait que
1
Δ ≤ 2f Nyquist = 2× 20 000 Hz.
Le cas des fr´ equences continues La deuxi` eme ´ etape de cette section consiste ` a
´ etudier ce qui arrive si l’hypoth` ese des fr´ equences enti` eres est abandonn´ ee. L’onde de
pression pourra alors contenir n’importe quelle fr´ equence ω entre 0 et le maximum
audible σ, par exemple 20 000 Hz. (Si nous continuons ` a utiliser les ondes complexes
e
2πiωt , alors la fr´ equence ω appartient `
a l’intervalle [−σ, σ].) Cette situation est alors
plus difficile ; la repr´ esentation de l’onde de pression ` a l’aide d’une somme finie telle que
(10.8) ne tient plus, et il faut la remplacer par une int´ egrale sur toutes les fr´ equences ω
permises, soit
f (t) =
σ
0
C(ω) cos(2πωt)dω +
σ
0
S(ω) sin(2πωt)dω,
ou
f (t) =
σ
−σ
F (ω)e
2πiωt dω
(10.16)
si les ondes complexes sont utilis´ ees. Les trois fonctions C(ω), S(ω) et F (ω) jouent
le rˆ ole des c k et s k dans le th´ eor` eme de Dirichlet (´ equation (10.7)) ou des d k dans
l’´ equation (10.10). Elles d´ ecrivent le contenu en fr´ equence et en amplitude de la fonction
onde de pression f (t). Malgr´ e ce surcroˆ ıt de complexit´ e, le th´ eor` eme suivant indique
qu’` a nouveau, la fr´ equence de Nyquist joue le rˆ ole-cl´ e pour d´ eterminer la cadence de
l’´ echantillonnage.
Introduisons tout d’abord deux d´ efinitions. Soit sinc : R → R la fonction d´ efinie par
sinc(x) =
1,
si x = 0,
sin πx
πx , si x = 0.
(10.17)
La contribution de chaque fr´ equence ω ` a l’onde est donn´ ee par la transform´ ee de Fourier
F de la fonction f d´ efinie par
F(ω) =
∞
−∞
f (x)e
−2πiωx dx.
(La fonction f doit satisfaire `
a certaines conditions pour que sa transform´ ee de Fourier
F existe ; par exemple, sa valeur absolue doit d´ ecroˆ ıtre assez rapidement ` a ±∞. Nous
10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
Les ing´ enieurs de Philips et de Sony, sachant que la perception humaine ne d´ epasse
pas la fr´ equence de 20 kHz, ont choisi un nombre (44 100) l´ eg` erement sup´ erieur aux 2 ×
20 000 = 40 000 valeurs prescrites par la borne de Nyquist. Voil` a donc la raison annonc´ ee
au d´ ebut du chapitre. La valeur exacte (44 100 plutˆ ot que 40 000) a ´ et´ e d´ etermin´ ee par
d’autres technologies existantes `
a l’´ epoque [7]. Les premiers appareils d’enregistrement
num´ erique utilisaient les vid´ eocassettes comme support. Or l’image vid´ eo du standard
europ´ een PAL poss` ede 294 lignes par champ vid´ eo, chacune en trois couleurs, et est
rafraˆ ıchie 50 fois `
a la seconde. Ce standard requiert donc 294×3×50 = 44 100 nombres `
a
la seconde. C’est donc un peu par hasard que le nombre pr´ ecis 44 100 a ´ et´ e choisi ; la seule
contrainte que les ing´ enieurs devaient respecter ´ etait que
1
Δ ≤ 2f Nyquist = 2× 20 000 Hz.
Le cas des fr´ equences continues La deuxi` eme ´ etape de cette section consiste ` a
´ etudier ce qui arrive si l’hypoth` ese des fr´ equences enti` eres est abandonn´ ee. L’onde de
pression pourra alors contenir n’importe quelle fr´ equence ω entre 0 et le maximum
audible σ, par exemple 20 000 Hz. (Si nous continuons ` a utiliser les ondes complexes
e
2πiωt , alors la fr´ equence ω appartient `
a l’intervalle [−σ, σ].) Cette situation est alors
plus difficile ; la repr´ esentation de l’onde de pression ` a l’aide d’une somme finie telle que
(10.8) ne tient plus, et il faut la remplacer par une int´ egrale sur toutes les fr´ equences ω
permises, soit
f (t) =
σ
0
C(ω) cos(2πωt)dω +
σ
0
S(ω) sin(2πωt)dω,
ou
f (t) =
σ
−σ
F (ω)e
2πiωt dω
(10.16)
si les ondes complexes sont utilis´ ees. Les trois fonctions C(ω), S(ω) et F (ω) jouent
le rˆ ole des c k et s k dans le th´ eor` eme de Dirichlet (´ equation (10.7)) ou des d k dans
l’´ equation (10.10). Elles d´ ecrivent le contenu en fr´ equence et en amplitude de la fonction
onde de pression f (t). Malgr´ e ce surcroˆ ıt de complexit´ e, le th´ eor` eme suivant indique
qu’` a nouveau, la fr´ equence de Nyquist joue le rˆ ole-cl´ e pour d´ eterminer la cadence de
l’´ echantillonnage.
Introduisons tout d’abord deux d´ efinitions. Soit sinc : R → R la fonction d´ efinie par
sinc(x) =
1,
si x = 0,
sin πx
πx , si x = 0.
(10.17)
La contribution de chaque fr´ equence ω ` a l’onde est donn´ ee par la transform´ ee de Fourier
F de la fonction f d´ efinie par
F(ω) =
∞
−∞
f (x)e
−2πiωx dx.
(La fonction f doit satisfaire `
a certaines conditions pour que sa transform´ ee de Fourier
F existe ; par exemple, sa valeur absolue doit d´ ecroˆ ıtre assez rapidement ` a ±∞. Nous