10.4 La fr´ equence de Nyquist et le pourquoi du 44 100
321
A m = 2N
N −1
k=−N
d k δ k,m .
Quel que soit l’entier m ∈ [−N, N − 1], un (et un seul) des termes de cette derni` ere
somme aura k = m et donc
A m = 2N d m .
Ainsi, l’ensemble des d k , k = −N, −N + 1, . . . , N − 1, peut ˆ etre obtenu de l’ensemble
des f l , l = 0, 1, . . . , 2N − 1 par l’expression
d k =
1
2N
A k =
1
2N
2N −1
l=0
f l e
−2πikl/2N .
(10.14)
En conclusion, pour reproduire toutes les fr´ equences (enti` eres) jusqu’` a la fr´ equence
maximale N , il faut ´ echantillonner la fonction au rythme de 2N valeurs `
a la seconde, et
vice versa, si une mesure de l’onde de pression est faite tous les intervalles Δ pendant
une seconde, l’amplitude des modes de fr´ equence jusqu’` a
f Nyquist =
1
2Δ
(10.15)
peut ˆ etre reproduite. Cette fr´ equence maximale, dite fr´ equence de Nyquist, porte le
nom de l’ing´ enieur qui s’est int´ eress´ e au probl` eme de la fid´ elit´ e de transmission et de
reproduction des signaux analogues [6]. Pour le cas des fr´ equences enti` eres, ce r´ esultat
est une cons´ equence ´ el´ ementaire de l’analyse de Fourier ; il est cependant un ´ el´ ement
central de la transformation d’un signal analogique (ou continu) comme l’onde sonore
en signal num´ erique (ou discret).
Rappelons que ce calcul a ´ et´ e fait sous l’hypoth` ese que les fr´ equences ´ emises sont
des nombres entiers. L’inversibilit´ e de la transformation lin´ eaire {f l , 0 ≤ l ≤ 2N − 1} →
{d k , −N ≤ k ≤ N − 1} assure donc qu’un de ces deux ensembles permet de reconstruire
l’autre. Une mise en garde, cependant : le th´ eor` eme de Dirichlet dit que la reconstruction
d’une fonction f est parfaite si les coefficients c k et s k d´ efinis par (10.1) et (10.2) sont
utilis´ es. Il sera montr´ e en exercice que la formule pour les coefficients d k des ondes
complexes est
d k =
1
0
f (t)e
−2πikt dt.
Or, dans l’argument ci-dessus, cette int´ egrale est remplac´ ee par la somme finie (10.14).
Il semble donc y avoir deux fa¸ cons de calculer les coefficients d k lorsque les fr´ equences
intervenant dans f sont born´ ees. L’exercice 11 montrera que ces deux fa¸ cons de calculer
d k co¨ ıncident. En pratique, les lecteurs de disques compacts ne calculent ni les d k ni les
coefficients c k et s k pour reconstruire l’onde sonore continue. Ils utilisent directement
les f l pour produire une fonction continue f (t) qui ´ epouse bien la fonction en escalier
donn´ ee par les f l .
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A m = 2N
N −1
k=−N
d k δ k,m .
Quel que soit l’entier m ∈ [−N, N − 1], un (et un seul) des termes de cette derni` ere
somme aura k = m et donc
A m = 2N d m .
Ainsi, l’ensemble des d k , k = −N, −N + 1, . . . , N − 1, peut ˆ etre obtenu de l’ensemble
des f l , l = 0, 1, . . . , 2N − 1 par l’expression
d k =
1
2N
A k =
1
2N
2N −1
l=0
f l e
−2πikl/2N .
(10.14)
En conclusion, pour reproduire toutes les fr´ equences (enti` eres) jusqu’` a la fr´ equence
maximale N , il faut ´ echantillonner la fonction au rythme de 2N valeurs `
a la seconde, et
vice versa, si une mesure de l’onde de pression est faite tous les intervalles Δ pendant
une seconde, l’amplitude des modes de fr´ equence jusqu’` a
f Nyquist =
1
2Δ
(10.15)
peut ˆ etre reproduite. Cette fr´ equence maximale, dite fr´ equence de Nyquist, porte le
nom de l’ing´ enieur qui s’est int´ eress´ e au probl` eme de la fid´ elit´ e de transmission et de
reproduction des signaux analogues [6]. Pour le cas des fr´ equences enti` eres, ce r´ esultat
est une cons´ equence ´ el´ ementaire de l’analyse de Fourier ; il est cependant un ´ el´ ement
central de la transformation d’un signal analogique (ou continu) comme l’onde sonore
en signal num´ erique (ou discret).
Rappelons que ce calcul a ´ et´ e fait sous l’hypoth` ese que les fr´ equences ´ emises sont
des nombres entiers. L’inversibilit´ e de la transformation lin´ eaire {f l , 0 ≤ l ≤ 2N − 1} →
{d k , −N ≤ k ≤ N − 1} assure donc qu’un de ces deux ensembles permet de reconstruire
l’autre. Une mise en garde, cependant : le th´ eor` eme de Dirichlet dit que la reconstruction
d’une fonction f est parfaite si les coefficients c k et s k d´ efinis par (10.1) et (10.2) sont
utilis´ es. Il sera montr´ e en exercice que la formule pour les coefficients d k des ondes
complexes est
d k =
1
0
f (t)e
−2πikt dt.
Or, dans l’argument ci-dessus, cette int´ egrale est remplac´ ee par la somme finie (10.14).
Il semble donc y avoir deux fa¸ cons de calculer les coefficients d k lorsque les fr´ equences
intervenant dans f sont born´ ees. L’exercice 11 montrera que ces deux fa¸ cons de calculer
d k co¨ ıncident. En pratique, les lecteurs de disques compacts ne calculent ni les d k ni les
coefficients c k et s k pour reconstruire l’onde sonore continue. Ils utilisent directement
les f l pour produire une fonction continue f (t) qui ´ epouse bien la fonction en escalier
donn´ ee par les f l .