318
10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
entre les ensembles des c i et s i d’une part, et des f i d’autre part, est donc : est-ce
que cette matrice est inversible ? Elle l’est si son d´ eterminant est non nul. Plusieurs de
ses lignes sont fort semblables, et on peut le calculer assez ais´ ement en faisant d’abord
des op´ erations sur les lignes et sur les colonnes. Il est plus facile de le faire soi-mˆ eme,
mais voici quand mˆ eme des ´ etapes interm´ ediaires. (Si vous le faites, ces r´ esultats interm´ ediaires seront probablement diff´ erents !) `
A l’aide d’op´ erations ´ el´ ementaires sur les
lignes, le d´ eterminant de cette matrice peut ˆ etre mis sous la forme
2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
√
3
√
3
0
0
0
0
√
3 −
√
3
0 −1
0 −1 0
0
1
2
−
1
2
−
1
2
1
0
0
1
2
1
2
−
1
2
−1 0
0
,
et, `
a l’aide d’op´ erations sur les colonnes, sous la forme
3 0 0
0
0
0
0 0 0
0 2
√
3
0
0 0 0
0
0
−
√
3
0 0 0 −3
0
0
0 0 −1 0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
.
Le calcul est maintenant ais´ e, on trouve que le d´ eterminant est ´ egal ` a 27, et la matrice
est inversible. Ainsi, une onde de pression de la forme g´ en´ erale (10.9) peut ˆ etre sp´ ecifi´ ee
compl` etement par ses six valeurs f i = f (i/6) pour i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Nous pouvons comprendre maintenant pourquoi nous n’avons pas introduit dans
cet exemple simple le son pur sin 6πt. Si nous l’avions fait, deux possibilit´ es se seraient pr´ esent´ ees `
a nous. La premi` ere aurait ´ et´ e d’omettre c 0 pour garder le nombre
de constantes ` a six. Alors, nous aurions encore ´ echantillonn´ e f tous les Δ =
1
6 . Mais
sin 6π(
i
6 ) = sin iπ s’annule pour tout i = 0, . . . , 5. La matrice aurait contenu une colonne nulle et n’aurait pas ´ et´ e inversible. La seconde possibilit´ e aurait ´ et´ e de conserver
c 0 et d’´ echantillonner tous les Δ =
1
7 . La matrice r´ esultante est ´ egalement inversible,
mais les calculs auraient ´ et´ e beaucoup plus difficiles, car les fonctions trigonom´ etriques
ne prennent pas des valeurs simples pour les multiples de
2π
7 .
Le cas g´ en´ eral est conceptuellement aussi simple. Cependant, la preuve la plus directe utilise la repr´ esentation des fonctions trigonom´ etriques en termes des fonctions
exponentielles complexes. L’avantage de cette repr´ esentation est que l’on peut calculer
explicitement l’inverse de la matrice, plutˆ ot que seulement son d´ eterminant.
Rappelons que
e
iα
= cosα + i sin α
e
−iα
= cosα − i sin α
⇐⇒
cos α =
1
2 (e
iα + e
−iα )
sin α =
1
2i (e
iα
− e
−iα )
10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
entre les ensembles des c i et s i d’une part, et des f i d’autre part, est donc : est-ce
que cette matrice est inversible ? Elle l’est si son d´ eterminant est non nul. Plusieurs de
ses lignes sont fort semblables, et on peut le calculer assez ais´ ement en faisant d’abord
des op´ erations sur les lignes et sur les colonnes. Il est plus facile de le faire soi-mˆ eme,
mais voici quand mˆ eme des ´ etapes interm´ ediaires. (Si vous le faites, ces r´ esultats interm´ ediaires seront probablement diff´ erents !) `
A l’aide d’op´ erations ´ el´ ementaires sur les
lignes, le d´ eterminant de cette matrice peut ˆ etre mis sous la forme
2
1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
√
3
√
3
0
0
0
0
√
3 −
√
3
0 −1
0 −1 0
0
1
2
−
1
2
−
1
2
1
0
0
1
2
1
2
−
1
2
−1 0
0
,
et, `
a l’aide d’op´ erations sur les colonnes, sous la forme
3 0 0
0
0
0
0 0 0
0 2
√
3
0
0 0 0
0
0
−
√
3
0 0 0 −3
0
0
0 0 −1 0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
.
Le calcul est maintenant ais´ e, on trouve que le d´ eterminant est ´ egal ` a 27, et la matrice
est inversible. Ainsi, une onde de pression de la forme g´ en´ erale (10.9) peut ˆ etre sp´ ecifi´ ee
compl` etement par ses six valeurs f i = f (i/6) pour i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Nous pouvons comprendre maintenant pourquoi nous n’avons pas introduit dans
cet exemple simple le son pur sin 6πt. Si nous l’avions fait, deux possibilit´ es se seraient pr´ esent´ ees `
a nous. La premi` ere aurait ´ et´ e d’omettre c 0 pour garder le nombre
de constantes ` a six. Alors, nous aurions encore ´ echantillonn´ e f tous les Δ =
1
6 . Mais
sin 6π(
i
6 ) = sin iπ s’annule pour tout i = 0, . . . , 5. La matrice aurait contenu une colonne nulle et n’aurait pas ´ et´ e inversible. La seconde possibilit´ e aurait ´ et´ e de conserver
c 0 et d’´ echantillonner tous les Δ =
1
7 . La matrice r´ esultante est ´ egalement inversible,
mais les calculs auraient ´ et´ e beaucoup plus difficiles, car les fonctions trigonom´ etriques
ne prennent pas des valeurs simples pour les multiples de
2π
7 .
Le cas g´ en´ eral est conceptuellement aussi simple. Cependant, la preuve la plus directe utilise la repr´ esentation des fonctions trigonom´ etriques en termes des fonctions
exponentielles complexes. L’avantage de cette repr´ esentation est que l’on peut calculer
explicitement l’inverse de la matrice, plutˆ ot que seulement son d´ eterminant.
Rappelons que
e
iα
= cosα + i sin α
e
−iα
= cosα − i sin α
⇐⇒
cos α =
1
2 (e
iα + e
−iα )
sin α =
1
2i (e
iα
− e
−iα )