10.4 La fr´ equence de Nyquist et le pourquoi du 44 100
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o` u i =
√
−1. Alors, la somme de fonctions trigonom´ etriques de mˆ eme fr´ equence
c k cos 2πkt + s k sin 2πkt
peut ˆ etre remplac´ ee par
c k cos 2πkt + s k sin 2πkt =
1
2
c k (e
2πikt + e
−2πikt ) +
1
2i
s k (e
2πikt
− e
−2πikt )
=
1
2
(c k − is k )e
2πikt +
1
2
(c k + is k )e
−2πikt .
En introduisant de nouveaux coefficients de Fourier (qui sont maintenant complexes)
d k =
1
2
(c k − is k ),
d −k =
1
2
(c k + is k ),
k = 0,
on a
c k cos 2πkt + s k sin 2πkt = d k e
2πikt + d −k e
−2πikt .
On d´ efinit enfin d 0 =
1
2 c 0 . Une onde de pression contenant tous les sons purs de fr´ equence
0 `
a N est de la forme
c 0
2
+
N
k=1
(c k cos 2πkt + s k sin 2πkt)
ou, avec ces nouveaux coefficients,
N
k=−N
d k e
2πikt .
Pour des raisons de simplicit´ e, nous laisserons tomber le « son » e
2πiN t , ce qui ram` ene ` a
pr´ ecis´ ement 2N le nombre de coefficients d k dans l’expression ci-dessus. En effet, l’indice
k dans la somme pr´ ec´ edente prend les (2N +1) valeurs −N, −N +1, . . . , −1, 0, 1, . . . , N −
1, N. L’omission d’un terme ne r´ eduit pas la g´ en´ eralit´ e du r´ esultat : en effet, si la derni` ere
fr´ equence N est audible, il suffit d’utiliser une somme de (N + 1) fr´ equences. Nous
supposerons donc
f (t) =
N −1
k=−N
d k e
2πikt .
(10.10)
Il y a 2N coefficients d k dans la forme g´ en´ erale (10.10), et il est raisonnable, comme
nous l’avons vu dans l’exemple simplifi´ e pr´ ec´ edent, de proposer un ´ echantillonnage `
a
chaque intervalle Δ =
1
2N de seconde. Les valeurs f l seront donc
f l = f (lΔ) =
N −1
k=−N
d k e
2πikl/2N ,
l= 0, 1, . . . , 2N − 1.
(10.11)