10.4 La fr´ equence de Nyquist et le pourquoi du 44 100
317
Plutˆ ot que d’attaquer le cas g´ en´ eral imm´ ediatement, commen¸ cons par un exemple
particulier simple `
a partir duquel nous pourrons comprendre la m´ ecanique des calculs.
Exemple 10.4 Ici, au lieu de consid´ erer les sons purs de fr´ equence entre 20 Hz et
20 kHz, nous allons nous limiter `
a trois fr´ equences et consid´ erer la somme :
f (t) =
1
2 c 0 + c 1 cos 2πt + c 2 cos 4πt + c 3 cos 6πt + s 1 sin 2πt + s 2 sin 4πt
(10.9)
pour t ∈ [0, 1]. Le terme c 0 a ´ et´ e ajout´ e pour simplifier l’analyse ; il ne devrait pas jouer
un rˆ ole tr` es important lorsque nous consid´ ererons 20 000 sons purs. Enfin on remarquera
que le terme sin 6πt a ´ et´ e omis ; nous reviendrons sur cette omission ci-dessous.
Cette onde de pression simplifi´ ee est d´ etermin´ ee par les six nombres r´ eels c 0 , c 1 , c 2 ,
c 3 , s 1 , s 2 . Nous allons voir `
a l’instant que la relation entre ces nombres et les valeurs
f i = f (iΔ) de la fonction f est lin´ eaire. Il faudra donc au moins six valeurs f i pour
d´ eterminer c 0 , c 1 , c 2 , c 3 , s 1 , s 2 . Nous essaierons donc Δ =
1
6 , et les f i seront donn´ ees
par
f i = f (
i
6 ),
i= 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ces valeurs peuvent ˆ etre calcul´ ees `
a partir de (10.9). Par exemple, f 1 est
f 1 =
1
2 c 0 + c 1 cos 2π(
1
6 ) + c 2 cos 4π(
1
6 ) + c 3 cos 6π(
1
6 ) + s 1 sin 2π(
1
6 ) + s 2 sin 4π(
1
6 )
=
1
2 c 0 +
1
2 c 1 −
1
2 c 2 − c 3 +
√
3
2 s 1 +
√
3
2 s 2 .
En r´ ep´ etant ce calcul pour les cinq autres valeurs f i , on obtient :
f 0 =
1
2 c 0 + c 1 + c 2 + c 3
f 1 =
1
2 c 0 +
1
2 c 1 −
1
2 c 2 − c 3 +
√
3
2 s 1 +
√
3
2 s 2
f 2 =
1
2 c 0 −
1
2 c 1 −
1
2 c 2 + c 3 +
√
3
2 s 1 −
√
3
2 s 2
f 3 =
1
2 c 0 − c 1 + c 2 − c 3
f 4 =
1
2 c 0 −
1
2 c 1 −
1
2 c 2 + c 3 −
√
3
2 s 1 +
√
3
2 s 2
f 5 =
1
2 c 0 +
1
2 c 1 −
1
2 c 2 − c 3 −
√
3
2 s 1 −
√
3
2 s 2 .
On peut r´ e´ ecrire ce syst` eme sous forme matricielle :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
f 0
f 1
f 2
f 3
f 4
f 5
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
1
1
1
0
0
1
2
1
2
−
1
2
−1
√
3
2
√
3
2
1
2
−
1
2
−
1
2
1
√
3
2
−
√
3
2
1
2
−1
1 −1
0
0
1
2
−
1
2
−
1
2
1 −
√
3
2
√
3
2
1
2
1
2
−
1
2
−1 −
√
3
2
−
√
3
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
c 0
c 1
c 2
c 3
s 1
s 2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Comme nous l’avions annonc´ e pr´ ec´ edemment, la relation entre les coefficients de Fourier c 0 , c 1 , c 2 , c 3 , s 1 , s 2 et les valeurs f i de f est lin´ eaire. La question d’´ equivalence
317
Plutˆ ot que d’attaquer le cas g´ en´ eral imm´ ediatement, commen¸ cons par un exemple
particulier simple `
a partir duquel nous pourrons comprendre la m´ ecanique des calculs.
Exemple 10.4 Ici, au lieu de consid´ erer les sons purs de fr´ equence entre 20 Hz et
20 kHz, nous allons nous limiter `
a trois fr´ equences et consid´ erer la somme :
f (t) =
1
2 c 0 + c 1 cos 2πt + c 2 cos 4πt + c 3 cos 6πt + s 1 sin 2πt + s 2 sin 4πt
(10.9)
pour t ∈ [0, 1]. Le terme c 0 a ´ et´ e ajout´ e pour simplifier l’analyse ; il ne devrait pas jouer
un rˆ ole tr` es important lorsque nous consid´ ererons 20 000 sons purs. Enfin on remarquera
que le terme sin 6πt a ´ et´ e omis ; nous reviendrons sur cette omission ci-dessous.
Cette onde de pression simplifi´ ee est d´ etermin´ ee par les six nombres r´ eels c 0 , c 1 , c 2 ,
c 3 , s 1 , s 2 . Nous allons voir `
a l’instant que la relation entre ces nombres et les valeurs
f i = f (iΔ) de la fonction f est lin´ eaire. Il faudra donc au moins six valeurs f i pour
d´ eterminer c 0 , c 1 , c 2 , c 3 , s 1 , s 2 . Nous essaierons donc Δ =
1
6 , et les f i seront donn´ ees
par
f i = f (
i
6 ),
i= 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ces valeurs peuvent ˆ etre calcul´ ees `
a partir de (10.9). Par exemple, f 1 est
f 1 =
1
2 c 0 + c 1 cos 2π(
1
6 ) + c 2 cos 4π(
1
6 ) + c 3 cos 6π(
1
6 ) + s 1 sin 2π(
1
6 ) + s 2 sin 4π(
1
6 )
=
1
2 c 0 +
1
2 c 1 −
1
2 c 2 − c 3 +
√
3
2 s 1 +
√
3
2 s 2 .
En r´ ep´ etant ce calcul pour les cinq autres valeurs f i , on obtient :
f 0 =
1
2 c 0 + c 1 + c 2 + c 3
f 1 =
1
2 c 0 +
1
2 c 1 −
1
2 c 2 − c 3 +
√
3
2 s 1 +
√
3
2 s 2
f 2 =
1
2 c 0 −
1
2 c 1 −
1
2 c 2 + c 3 +
√
3
2 s 1 −
√
3
2 s 2
f 3 =
1
2 c 0 − c 1 + c 2 − c 3
f 4 =
1
2 c 0 −
1
2 c 1 −
1
2 c 2 + c 3 −
√
3
2 s 1 +
√
3
2 s 2
f 5 =
1
2 c 0 +
1
2 c 1 −
1
2 c 2 − c 3 −
√
3
2 s 1 −
√
3
2 s 2 .
On peut r´ e´ ecrire ce syst` eme sous forme matricielle :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
f 0
f 1
f 2
f 3
f 4
f 5
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
1
1
1
0
0
1
2
1
2
−
1
2
−1
√
3
2
√
3
2
1
2
−
1
2
−
1
2
1
√
3
2
−
√
3
2
1
2
−1
1 −1
0
0
1
2
−
1
2
−
1
2
1 −
√
3
2
√
3
2
1
2
1
2
−
1
2
−1 −
√
3
2
−
√
3
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
c 0
c 1
c 2
c 3
s 1
s 2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Comme nous l’avions annonc´ e pr´ ec´ edemment, la relation entre les coefficients de Fourier c 0 , c 1 , c 2 , c 3 , s 1 , s 2 et les valeurs f i de f est lin´ eaire. La question d’´ equivalence