10.3 La derni` ere note (introduction `
a l’analyse de Fourier)
311
Fig. 10.7. La fonction e k = k(C
2
k + S
2
k ) en fonction de la fr´ equence (4k) Hz
1212 Hz) et que le choix du maximum local est quelque peu arbitraire pour caract´ eriser
le pic.
Quelles sont les fr´ equences les plus audibles ? On retrouve 144, 300, 588, 1212 et 2380
Hz, des fr´ equences tr` es voisines de celles des r´ e (voir la figure 10.3) et ´ egalement 224,
892 et 1792 Hz qui, elles, sont proches des la. Il y a quelques autres fr´ equences, comme
1492, 2092, 2684, 3016, 3396 et 3708 Hz, qui semblent avoir ´ et´ e rajout´ ees pour rendre
l’espacement des pics plus r´ egulier. Il faut connaˆ ıtre un peu de physique pour comprendre d’o` u viennent les la (Beethoven n’a demand´ e que les r´ e !) et les quelques autres
fr´ equences « parasites ».
Fr´ equences fondamentale et harmoniques Pour r´ esoudre l’´ equation d’onde d´ ecrivant les mouvements d’une corde vibrante, comme celles d’un violon, on d´ etermine
d’abord tous les mouvements de cette corde pour lesquels chacun des segments de la
corde bouge avec la mˆ eme fr´ equence. Ces solutions sont toutes de la forme
f k (x, t) = A sin
πkx
L
· sin(ω k t + α),
o` u A est l’amplitude de l’onde, L la longueur de la corde, t le temps et x ∈ [0, L] la
position sur la corde. La fonction f k donne le d´ eplacement transversal de la corde par
rapport `
a sa position au repos. (Le mot « transversal » veut dire « perpendiculaire ` a
l’axe de la corde ».) Il y a une infinit´ e de telles solutions f k ; elles sont ´ etiquet´ ees par
a l’analyse de Fourier)
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Fig. 10.7. La fonction e k = k(C
2
k + S
2
k ) en fonction de la fr´ equence (4k) Hz
1212 Hz) et que le choix du maximum local est quelque peu arbitraire pour caract´ eriser
le pic.
Quelles sont les fr´ equences les plus audibles ? On retrouve 144, 300, 588, 1212 et 2380
Hz, des fr´ equences tr` es voisines de celles des r´ e (voir la figure 10.3) et ´ egalement 224,
892 et 1792 Hz qui, elles, sont proches des la. Il y a quelques autres fr´ equences, comme
1492, 2092, 2684, 3016, 3396 et 3708 Hz, qui semblent avoir ´ et´ e rajout´ ees pour rendre
l’espacement des pics plus r´ egulier. Il faut connaˆ ıtre un peu de physique pour comprendre d’o` u viennent les la (Beethoven n’a demand´ e que les r´ e !) et les quelques autres
fr´ equences « parasites ».
Fr´ equences fondamentale et harmoniques Pour r´ esoudre l’´ equation d’onde d´ ecrivant les mouvements d’une corde vibrante, comme celles d’un violon, on d´ etermine
d’abord tous les mouvements de cette corde pour lesquels chacun des segments de la
corde bouge avec la mˆ eme fr´ equence. Ces solutions sont toutes de la forme
f k (x, t) = A sin
πkx
L
· sin(ω k t + α),
o` u A est l’amplitude de l’onde, L la longueur de la corde, t le temps et x ∈ [0, L] la
position sur la corde. La fonction f k donne le d´ eplacement transversal de la corde par
rapport `
a sa position au repos. (Le mot « transversal » veut dire « perpendiculaire ` a
l’axe de la corde ».) Il y a une infinit´ e de telles solutions f k ; elles sont ´ etiquet´ ees par