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10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
s 4 = 1.
Le fait que s 4 soit non nul nous dit que f (t) contient une composante vibrant ` a 4 Hz et
que son amplitude est 1. Le fait que tous les autres soient nuls nous indique que f (t) ne
contient aucune autre fr´ equence.
Ce calcul r´ ev` ele un peu la nature des coefficients de Fourier :
Les coefficients de Fourier d´ ecrivent le contenu en fr´ equence
et en amplitude de l’onde de pression f (t).
Il est donc tentant de calculer les coefficients de Fourier du quart de seconde du dernier accord de la Neuvi` eme Symphonie. Mais nous ne connaissons pas f (t) ; nous ne
connaissons que sa valeur en N = 11 025 points ´ equidistants dans le temps. Nous allons
donc supposer que cet ´ echantillon d´ ecrit assez bien f (t) et nous allons remplacer les
int´ egrales par des sommes. Si les f i , i = 1, 2, . . . , N, d´ esignent les nombres lus sur le
disque compact, nous allons calculer les nombres
C k =
1
N
N
i=1
f i cos
2πk
i
N
et S k =
1
N
N
i=1
f i sin
2πk
i
N
.
(10.6)
Le temps continu t a ´ et´ e remplac´ e par un temps discret t i =
i
N , i = 1, 2, . . . , N. Attention : les k ne sont plus exactement les fr´ equences puisque k est le nombre de
cycles des fonctions cos et sin durant un quart de seconde. Pour obtenir la v´ eritable
fr´ equence, il faudra multiplier par quatre le nombre de cycles, et les fr´ equences seront
donc de (4k) Hz. Notons enfin que la correspondance entre une int´ egrale
f (t) dt et
sa discr´ etisation
f (t i )Δt fait intervenir un facteur num´ erique Δt qui est, dans le cas
pr´ esent, Δt =
1
N =
1
11 025 . C’est le facteur devant les deux sommes ci-dessus.
Calculer ces coefficients de Fourier semble un travail redoutable. Mais un ordinateur
peut s’en acquitter ais´ ement. Les r´ esultats de ces sommes de N termes sont pr´ esent´ es
` a la figure 10.7 et ` a la figure 10.8 pour les basses fr´ equences. Ces figures contiennent
en ordonn´ ee les nombres e k = k(C
2
k + S
2
k ) pour les fr´ equences de (4k) Hz, pour k = 1
` a 1000, et donc pour les fr´ equences de 4 Hz ` a 4000 Hz. Les points (4k, e k ) ont ´ et´ e
reli´ es par un trait, et le graphe semble donc ˆ etre celui d’une fonction continue. Puisque
les coefficients C k et S k repr´ esentent des notes de mˆ eme fr´ equence, il est naturel de les
joindre en un seul nombre. La somme des carr´ es (C
2
k +S
2
k ) est reli´ ee au concept d’´ energie
contenue dans les modes de fr´ equence (4k) Hz de l’onde de pression. Plusieurs auteurs
pr´ ef` erent tracer cette somme, et c’est elle (ou sa racine carr´ ee) que nous utiliserons dans
les exercices. Cependant, ici, la fonction (C
2
k + S
2
k ) d´ ecroˆ ıt si rapidement lorsque k croˆ ıt
que nous avons choisi, un peu arbitrairement, de mettre un facteur k devant la quantit´ e
habituelle. L’image d’un clavier a ´ et´ e ajout´ ee pour aider ` a d´ eterminer la hauteur des
notes ´ emises. Puisque nous avons choisi une ´ echelle lin´ eaire pour les fr´ equences, le clavier
apparaˆ ıt d´ eform´ e.
Sous ces graphes ont ´ et´ e indiqu´ ees les fr´ equences des maxima locaux de e k . On
remarquera que les pics de la fonction e k sont parfois assez larges (par exemple, autour de
10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
s 4 = 1.
Le fait que s 4 soit non nul nous dit que f (t) contient une composante vibrant ` a 4 Hz et
que son amplitude est 1. Le fait que tous les autres soient nuls nous indique que f (t) ne
contient aucune autre fr´ equence.
Ce calcul r´ ev` ele un peu la nature des coefficients de Fourier :
Les coefficients de Fourier d´ ecrivent le contenu en fr´ equence
et en amplitude de l’onde de pression f (t).
Il est donc tentant de calculer les coefficients de Fourier du quart de seconde du dernier accord de la Neuvi` eme Symphonie. Mais nous ne connaissons pas f (t) ; nous ne
connaissons que sa valeur en N = 11 025 points ´ equidistants dans le temps. Nous allons
donc supposer que cet ´ echantillon d´ ecrit assez bien f (t) et nous allons remplacer les
int´ egrales par des sommes. Si les f i , i = 1, 2, . . . , N, d´ esignent les nombres lus sur le
disque compact, nous allons calculer les nombres
C k =
1
N
N
i=1
f i cos
2πk
i
N
et S k =
1
N
N
i=1
f i sin
2πk
i
N
.
(10.6)
Le temps continu t a ´ et´ e remplac´ e par un temps discret t i =
i
N , i = 1, 2, . . . , N. Attention : les k ne sont plus exactement les fr´ equences puisque k est le nombre de
cycles des fonctions cos et sin durant un quart de seconde. Pour obtenir la v´ eritable
fr´ equence, il faudra multiplier par quatre le nombre de cycles, et les fr´ equences seront
donc de (4k) Hz. Notons enfin que la correspondance entre une int´ egrale
f (t) dt et
sa discr´ etisation
f (t i )Δt fait intervenir un facteur num´ erique Δt qui est, dans le cas
pr´ esent, Δt =
1
N =
1
11 025 . C’est le facteur devant les deux sommes ci-dessus.
Calculer ces coefficients de Fourier semble un travail redoutable. Mais un ordinateur
peut s’en acquitter ais´ ement. Les r´ esultats de ces sommes de N termes sont pr´ esent´ es
` a la figure 10.7 et ` a la figure 10.8 pour les basses fr´ equences. Ces figures contiennent
en ordonn´ ee les nombres e k = k(C
2
k + S
2
k ) pour les fr´ equences de (4k) Hz, pour k = 1
` a 1000, et donc pour les fr´ equences de 4 Hz ` a 4000 Hz. Les points (4k, e k ) ont ´ et´ e
reli´ es par un trait, et le graphe semble donc ˆ etre celui d’une fonction continue. Puisque
les coefficients C k et S k repr´ esentent des notes de mˆ eme fr´ equence, il est naturel de les
joindre en un seul nombre. La somme des carr´ es (C
2
k +S
2
k ) est reli´ ee au concept d’´ energie
contenue dans les modes de fr´ equence (4k) Hz de l’onde de pression. Plusieurs auteurs
pr´ ef` erent tracer cette somme, et c’est elle (ou sa racine carr´ ee) que nous utiliserons dans
les exercices. Cependant, ici, la fonction (C
2
k + S
2
k ) d´ ecroˆ ıt si rapidement lorsque k croˆ ıt
que nous avons choisi, un peu arbitrairement, de mettre un facteur k devant la quantit´ e
habituelle. L’image d’un clavier a ´ et´ e ajout´ ee pour aider ` a d´ eterminer la hauteur des
notes ´ emises. Puisque nous avons choisi une ´ echelle lin´ eaire pour les fr´ equences, le clavier
apparaˆ ıt d´ eform´ e.
Sous ces graphes ont ´ et´ e indiqu´ ees les fr´ equences des maxima locaux de e k . On
remarquera que les pics de la fonction e k sont parfois assez larges (par exemple, autour de