10.3 La derni` ere note (introduction `
a l’analyse de Fourier)
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cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β,
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β,
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β.
En additionnant les deux premi` eres ´ equations ci-dessus, on trouve :
2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β).
Ainsi,
2I 1 = 2
1
0
cos(2πmt) cos(2πnt) dt =
1
0
(cos(2π(m + n)t) + cos(2π(m − n)t)) dt,
qui est facile ` a int´ egrer. Si m + n = 0 et m − n = 0, alors
2I 1 =
sin(2π(m + n)t)
2π(m + n)
+
sin(2π(m − n)t)
2π(m − n)
1
0
= 0,
puisque m et n sont entiers et que sin πp = 0 lorsque p est entier. Si, cependant, m+n = 0
ou m − n = 0, les primitives que nous avons choisies sont fausses : un des d´ enominateurs
est nul ! (Si m et n sont des entiers nuls ou positifs, m + n = 0 ne peut se produire que si
m = n = 0.) Si m − n = 0, par exemple, le second terme cos(2π(m − n)t) de la fonction
` a int´ egrer est identiquement ´ egal `
a 1, et alors
1
0
cos 2π(m − n)t dt = 1.
On trouve donc
2I 1 = 2
1
0
cos(2πmt) cos(2πnt) dt = δ m,n + δ m,−n ,
o` u δ m,n est le delta de Kronecker. On trouve similairement (exercice 2)
I 2 =
1
0
cos(2πmt) sin(2πnt) dt = 0
et
2I 3 = 2
1
0
sin(2πmt) sin(2πnt) dt = δ m,n − δ m,−n ,
ce qui termine la preuve.
Exemple 10.1 (suite et fin) Il est enfin possible de calculer facilement tous les coefficients c k et s k de la fonction de l’exemple 10.1. Pour l’onde sonore f (t) = sin(4 · 2πt),
tous les coefficients c k et s k sont nuls sauf s 4 qui est