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10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
s 1 = 0.
Peut-on r´ ep´ eter ce truc pour tous les c k , k = 0, 1, 2, . . . et tous les s k , k = 1, 2, 3, . . . ?
Si tel est le cas, tous ces coefficients sont nuls et donc. . . inutiles ! Quoi qu’il en soit, il
nous faut une m´ ethode plus efficace pour calculer ces coefficients.
Fig. 10.6. Le produit de f (t) et de sin 2πt
La proposition suivante nous donne les outils pour faire ce calcul.
Proposition 10.2 Soient m, n ∈ Z. Le delta de Kronecker δ m,n est d´ efini comme suit :
il prend la valeur 1 si m = n et 0 si m = n. Alors,
2
1
0
cos(2πmt) cos(2πnt) dt = δ m,n + δ m,−n ;
(10.3)
1
0
cos(2πmt) sin(2πnt) dt = 0;
(10.4)
2
1
0
sin(2πmt) sin(2πnt) dt = δ m,n − δ m,−n .
(10.5)
Preuve Appelons
I 1 =
1
0
cos(2πmt) cos(2πnt) dt,
I 2 =
1
0
cos(2πmt) sin(2πnt) dt
et
I 3 =
1
0
sin(2πmt) sin(2πnt) dt
les trois int´ egrales ` a l’´ etude. Pour les calculer, rappelons les identit´ es
10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
s 1 = 0.
Peut-on r´ ep´ eter ce truc pour tous les c k , k = 0, 1, 2, . . . et tous les s k , k = 1, 2, 3, . . . ?
Si tel est le cas, tous ces coefficients sont nuls et donc. . . inutiles ! Quoi qu’il en soit, il
nous faut une m´ ethode plus efficace pour calculer ces coefficients.
Fig. 10.6. Le produit de f (t) et de sin 2πt
La proposition suivante nous donne les outils pour faire ce calcul.
Proposition 10.2 Soient m, n ∈ Z. Le delta de Kronecker δ m,n est d´ efini comme suit :
il prend la valeur 1 si m = n et 0 si m = n. Alors,
2
1
0
cos(2πmt) cos(2πnt) dt = δ m,n + δ m,−n ;
(10.3)
1
0
cos(2πmt) sin(2πnt) dt = 0;
(10.4)
2
1
0
sin(2πmt) sin(2πnt) dt = δ m,n − δ m,−n .
(10.5)
Preuve Appelons
I 1 =
1
0
cos(2πmt) cos(2πnt) dt,
I 2 =
1
0
cos(2πmt) sin(2πnt) dt
et
I 3 =
1
0
sin(2πmt) sin(2πnt) dt
les trois int´ egrales ` a l’´ etude. Pour les calculer, rappelons les identit´ es