10.3 La derni` ere note (introduction `
a l’analyse de Fourier)
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Fig. 10.5. Une onde sonore tr` es simple (un son pur sans harmonique)
L’analyse de Fourier L’analyse de Fourier permet de calculer, pour une onde donn´ ee,
son contenu `
a la fr´ equence k Hz et de reconstituer l’onde `
a partir de l’ensemble de ces
composantes. Le contenu ` a la fr´ equence k est donn´ e par l’ensemble des deux coefficients
c k et s k . La formule des coefficients de Fourier est la suivante :
c k = 2
1
0
f (t) cos(2πkt) dt,
k = 0, 1, 2 . . .
(10.1)
s k = 2
1
0
f (t) sin(2πkt) dt,
k = 1, 2, 3 . . .
(10.2)
(L’exercice 3 expliquera pourquoi il faut deux coefficients pour une seule fr´ equence.)
Exemple 10.1 (suite) Commen¸ cons par calculer les nombres c k et s k pour la fonction
f (t) de l’exemple 10.1. On obtient le coefficient c 0 en multipliant cos 2πkt avec k = 0,
et f (t), puis en int´ egrant la fonction r´ esultante sur une seconde. Puisque cos 2πkt = 1
pour k = 0, le coefficient c 0 sera donn´ e par
c 0 = 2
1
0
f (t) dt.
Mais f (t) est une sinuso¨ ıde, et l’aire sous la courbe entre t = 0 et t = 1 est clairement
nulle. (Rappelez-vous que l’aire entre l’axe des t et le graphe est n´ egative pour les r´ egions
o` u f (t) est n´ egative.) Donc,
c 0 = 0.
Calculons maintenant s 1 :
s 1 = 2
1
0
f (t) sin 2πt dt.
Le produit de sin 2πt et de f (t) apparaˆ ıt ` a la figure 10.6. Remarquons que f (t) = f (t+
1
2 )
et que sin 2πt = − sin 2π(t +
1
2 ), ce qui entraˆ ıne f (t) sin 2πt = −(f (t +
1
2 ) sin 2π(t +
1
2 ))
pour t ∈ [0,
1
2 ]. Par cons´ equent l’int´ egrale de f (t) sin 2πt est nulle :