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10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
particuli` erement facile ` a ´ etudier math´ ematiquement, car tous les musiciens attaquent
exactement la mˆ eme note en mˆ eme temps. Mˆ eme si les musiciens disent que c’est la
mˆ eme note, il s’agit plutˆ ot de notes portant le mˆ eme nom, toutes ` a des intervalles d’une
ou de plusieurs octaves l’une de l’autre. Ces notes sont des r´ e. Pour ceux qui lisent
la musique, la derni` ere page de la partition se trouve `
a la figure 10.4. Chaque ligne
repr´ esente un groupe d’instruments, du piccolo et des flˆ utes, en haut, aux violoncelles
et contrebasses, en bas. Le triangle et les cymbales ne produisent qu’une note (ou bruit) ;
ils ne se voient accorder qu’une ligne sur la partition. Tous les autres instruments, y compris les timbales (« Timp. » sur la partition), produisent des sons de hauteur variable,
et leur partition utilise la port´ ee ` a cinq lignes. Le temps coule de gauche `
a droite, et
toutes les notes apparaissant sur une mˆ eme ligne verticale sont jou´ ees simultan´ ement.
La derni` ere note est dans la colonne `
a l’extrˆ eme droite. On n’y trouve que des r´ e ` a
diff´ erentes hauteurs. Les r´ e de ce dernier accord couvrent tous les r´ e du piano `
a l’exception des deux plus graves. (Certaines familles d’instruments semblent jouer des notes
distinctes du r´ e. Par exemple, la note ´ ecrite pour les clarinettes (Cl. sur la partition)
est un fa. Mais le son produit aura la fr´ equence d’un r´ e ! La raison de cette diff´ erence
entre la note ´ ecrite et celle entendue r´ eside dans l’histoire du d´ eveloppement de ces
instruments. Apr` es de longues exp´ erimentations, les sp´ ecialistes se sont entendus sur la
longueur du tube de clarinette optimisant la qualit´ e du son de l’instrument sur tout son
registre. H´ elas, cette longueur accorde des doigt´ es un peu acrobatiques aux notes les
plus communes. On a donc convenu de changer le nom de toutes les notes produites de
fa¸ con ` a accorder aux notes communes des doigt´ es ais´ es. Ainsi, quand la clarinette joue
la note ´ ecrite do, la fr´ equence ´ emise est celle d’un si . Il faut donc ´ ecrire un fa pour les
clarinettes afin d’entendre un r´ e. Pour les compositeurs, cette « translation » fait partie
de la routine.)
Rappelons que les enregistrements st´ er´ eo contiennent deux pistes permettant d’obtenir la d´ efinition spatiale du son. Nous nous limiterons `
a une seule de ces deux pistes.
Le quart de seconde que nous ´ etudierons contient
44 100
4
= 11 025 nombres. Les dix premiers de ces nombres sont 5409, 5926, 4634, 3567, 2622, 3855, 948, −5318, −5092, −2376;
les 441 premiers (donnant un centi` eme de seconde de musique) sont port´ es en ordonn´ ee ` a
la figure 10.2. Comment « entendre » math´ ematiquement l’accord jou´ e par l’orchestre ?
Exemple 10.1 Pour le comprendre, commen¸ cons par un exemple tr` es simple. Supposons que, plutˆ ot que le dernier accord repr´ esent´ e `
a la figure 10.2, nous ´ etudiions un son
f (t) ne contenant qu’une fr´ equence dont l’onde de pression est repr´ esent´ ee ` a la figure
10.5 pour une seconde compl` ete (t ∈ [0, 1]). On remarquera qu’il y a quatre cycles complets de la fonction sinuso¨ ıdale durant cette seconde et que la fr´ equence ´ emise est de 4
Hz. Ainsi f (t) = sin(4 · 2πt). L’œil voit cette ´ evidence rapidement, mais comment voir
ce fait math´ ematiquement ? La r´ eponse ` a cette question est contenue dans l’analyse de
Fourier. L’id´ ee est de comparer l’onde de pression f (t) aux fonctions cosinus et sinus
de fr´ equences enti` eres, c’est-` a-dire les fr´ equences qui sont des multiples entiers de 1 Hz.
10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
particuli` erement facile ` a ´ etudier math´ ematiquement, car tous les musiciens attaquent
exactement la mˆ eme note en mˆ eme temps. Mˆ eme si les musiciens disent que c’est la
mˆ eme note, il s’agit plutˆ ot de notes portant le mˆ eme nom, toutes ` a des intervalles d’une
ou de plusieurs octaves l’une de l’autre. Ces notes sont des r´ e. Pour ceux qui lisent
la musique, la derni` ere page de la partition se trouve `
a la figure 10.4. Chaque ligne
repr´ esente un groupe d’instruments, du piccolo et des flˆ utes, en haut, aux violoncelles
et contrebasses, en bas. Le triangle et les cymbales ne produisent qu’une note (ou bruit) ;
ils ne se voient accorder qu’une ligne sur la partition. Tous les autres instruments, y compris les timbales (« Timp. » sur la partition), produisent des sons de hauteur variable,
et leur partition utilise la port´ ee ` a cinq lignes. Le temps coule de gauche `
a droite, et
toutes les notes apparaissant sur une mˆ eme ligne verticale sont jou´ ees simultan´ ement.
La derni` ere note est dans la colonne `
a l’extrˆ eme droite. On n’y trouve que des r´ e ` a
diff´ erentes hauteurs. Les r´ e de ce dernier accord couvrent tous les r´ e du piano `
a l’exception des deux plus graves. (Certaines familles d’instruments semblent jouer des notes
distinctes du r´ e. Par exemple, la note ´ ecrite pour les clarinettes (Cl. sur la partition)
est un fa. Mais le son produit aura la fr´ equence d’un r´ e ! La raison de cette diff´ erence
entre la note ´ ecrite et celle entendue r´ eside dans l’histoire du d´ eveloppement de ces
instruments. Apr` es de longues exp´ erimentations, les sp´ ecialistes se sont entendus sur la
longueur du tube de clarinette optimisant la qualit´ e du son de l’instrument sur tout son
registre. H´ elas, cette longueur accorde des doigt´ es un peu acrobatiques aux notes les
plus communes. On a donc convenu de changer le nom de toutes les notes produites de
fa¸ con ` a accorder aux notes communes des doigt´ es ais´ es. Ainsi, quand la clarinette joue
la note ´ ecrite do, la fr´ equence ´ emise est celle d’un si . Il faut donc ´ ecrire un fa pour les
clarinettes afin d’entendre un r´ e. Pour les compositeurs, cette « translation » fait partie
de la routine.)
Rappelons que les enregistrements st´ er´ eo contiennent deux pistes permettant d’obtenir la d´ efinition spatiale du son. Nous nous limiterons `
a une seule de ces deux pistes.
Le quart de seconde que nous ´ etudierons contient
44 100
4
= 11 025 nombres. Les dix premiers de ces nombres sont 5409, 5926, 4634, 3567, 2622, 3855, 948, −5318, −5092, −2376;
les 441 premiers (donnant un centi` eme de seconde de musique) sont port´ es en ordonn´ ee ` a
la figure 10.2. Comment « entendre » math´ ematiquement l’accord jou´ e par l’orchestre ?
Exemple 10.1 Pour le comprendre, commen¸ cons par un exemple tr` es simple. Supposons que, plutˆ ot que le dernier accord repr´ esent´ e `
a la figure 10.2, nous ´ etudiions un son
f (t) ne contenant qu’une fr´ equence dont l’onde de pression est repr´ esent´ ee ` a la figure
10.5 pour une seconde compl` ete (t ∈ [0, 1]). On remarquera qu’il y a quatre cycles complets de la fonction sinuso¨ ıdale durant cette seconde et que la fr´ equence ´ emise est de 4
Hz. Ainsi f (t) = sin(4 · 2πt). L’œil voit cette ´ evidence rapidement, mais comment voir
ce fait math´ ematiquement ? La r´ eponse ` a cette question est contenue dans l’analyse de
Fourier. L’id´ ee est de comparer l’onde de pression f (t) aux fonctions cosinus et sinus
de fr´ equences enti` eres, c’est-` a-dire les fr´ equences qui sont des multiples entiers de 1 Hz.