10.2 La gamme musicale
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soient blanches ou noires ! On verra facilement que les deux notes do et sol (s´ epar´ ees
d’un seul do) sont `
a un tel intervalle d’une octave et une quinte
4 . Puisque le rapport
entre les fr´ equences des deux notes s´ epar´ ees par un intervalle d’une octave et une quinte
est ´ egal ` a trois, les notes ` a une quinte d’intervalle auront leur rapport de fr´ equences ´ egal
` a
3
2 . (Exercice : vous en convaincre !)
Tout ´ ecart par rapport `
a ces rapports de fr´ equence, mˆ eme minime, est per¸ cu ais´ ement
par les musiciens chevronn´ es. Accorder un piano en maintenant tous ces rapports est
cependant une impossibilit´ e math´ ematique. En voici l’origine. Le cycle des quintes
est l’´ enum´ eration de toutes les notes de fa¸ con que, dans l’ordre ´ enum´ er´ e, une note
imm´ ediatement ` a droite d’une autre soit ` a une quinte vers la droite sur le clavier. Tout
bon musicien peut r´ eciter le cycle des quintes presque sans y penser. En commen¸ cant
par do, il se lit
do 1 , sol 1 , r´ e 2 , la 2 , mi 3 , si 3 , fa 4 , do 5 , sol 5 , r´ e 6 ,
la 6 , mi 7 ,
(la 5 ) (mi 6 ) (si 6 ) (fa 7 )
et, apr` es le mi 7 (fa 7 ), le cycle recommence au do 8
5 . (On n’´ ecrit pas habituellement
l’octave ` a laquelle appartient chacune des notes du cycle des quintes. Nous l’avons fait,
car ce sera utile ci-dessous.)
Pour chaque quinte de ce cycle, la fr´ equence a ´ et´ e multipli´ ee par
3
2 . Du do 1 jusqu’au
do 8 , 12 facteurs ont ´ et´ e utilis´ es : (
3
2 )
12 . Il y a cependant sept octaves entre ces deux
mˆ emes notes, et le rapport de leurs fr´ equences est 2
7 . Est-ce que, par hasard, (
3
2 )
12 = 2
7 ,
ou encore, 3
12 = 2
19 ? Non, cette identit´ e est sˆ urement fausse. En effet, le produit de
nombres impairs est impair, et celui de nombres pairs est pair. Puisque 3
12 est impair
et que 2
19 est pair, l’´ egalit´ e ne peut tenir ! Pourtant, la diff´ erence n’est pas grande, car
3
12 = 531 441
et
2
19 = 524 288.
L’erreur n’est pas ´ enorme, un peu moins de 2 %, ´ etal´ ee sur plusieurs octaves. Les
musiciens de la Renaissance ´ etaient au courant de cette difficult´ e. Pour une oreille bien
entraˆ ın´ ee, les intervalles les plus plaisants sont ceux dont les fr´ equences sont pr´ ecis´ ement
des multiples entiers (ou des fractions dont le num´ erateur et le d´ enominateur sont de
petits entiers). Mais ceux-ci cr´ eent l’erreur que nous venons de relever. Une solution
propos´ ee d` es la fin du XVII
e si` ecle est d’accorder le clavier en respectant les deux r` egles
suivantes : (i) le rapport de fr´ equences entre deux notes espac´ ees par une octave est
4 Pourquoi l’intervalle est-il de sept notes sur le clavier pour une quinte et de 12 pour une
octave ? Apr` es tout, « quinte » et « octave » sugg` erent les nombres 5 et 8 respectivement. La
raison repose encore sur le rˆ ole pr´ epond´ erant des notes blanches dans la gamme de do majeur.
De do ` a sol, il y a une quinte ; et si do re¸ coit le num´ ero 1, le sol ` a sa droite sera la note (blanche)
num´ ero 5. Et pour l’octave, le do suivant sera le num´ ero 8.
5 Les notes entre parenth` eses co¨ ıncident, sur le clavier, avec les notes qui les pr´ ec` edent.
Les violonistes, qui « construisent » eux-mˆ emes leurs sons ` a l’aide de leur main gauche, font
cependant une diff´ erence entre ces notes. En fait, plutˆ ot que de recommencer le cycle des
quintes sur le do, il faudrait poursuivre sur le si que les pianistes confondent avec le do.
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soient blanches ou noires ! On verra facilement que les deux notes do et sol (s´ epar´ ees
d’un seul do) sont `
a un tel intervalle d’une octave et une quinte
4 . Puisque le rapport
entre les fr´ equences des deux notes s´ epar´ ees par un intervalle d’une octave et une quinte
est ´ egal ` a trois, les notes ` a une quinte d’intervalle auront leur rapport de fr´ equences ´ egal
` a
3
2 . (Exercice : vous en convaincre !)
Tout ´ ecart par rapport `
a ces rapports de fr´ equence, mˆ eme minime, est per¸ cu ais´ ement
par les musiciens chevronn´ es. Accorder un piano en maintenant tous ces rapports est
cependant une impossibilit´ e math´ ematique. En voici l’origine. Le cycle des quintes
est l’´ enum´ eration de toutes les notes de fa¸ con que, dans l’ordre ´ enum´ er´ e, une note
imm´ ediatement ` a droite d’une autre soit ` a une quinte vers la droite sur le clavier. Tout
bon musicien peut r´ eciter le cycle des quintes presque sans y penser. En commen¸ cant
par do, il se lit
do 1 , sol 1 , r´ e 2 , la 2 , mi 3 , si 3 , fa 4 , do 5 , sol 5 , r´ e 6 ,
la 6 , mi 7 ,
(la 5 ) (mi 6 ) (si 6 ) (fa 7 )
et, apr` es le mi 7 (fa 7 ), le cycle recommence au do 8
5 . (On n’´ ecrit pas habituellement
l’octave ` a laquelle appartient chacune des notes du cycle des quintes. Nous l’avons fait,
car ce sera utile ci-dessous.)
Pour chaque quinte de ce cycle, la fr´ equence a ´ et´ e multipli´ ee par
3
2 . Du do 1 jusqu’au
do 8 , 12 facteurs ont ´ et´ e utilis´ es : (
3
2 )
12 . Il y a cependant sept octaves entre ces deux
mˆ emes notes, et le rapport de leurs fr´ equences est 2
7 . Est-ce que, par hasard, (
3
2 )
12 = 2
7 ,
ou encore, 3
12 = 2
19 ? Non, cette identit´ e est sˆ urement fausse. En effet, le produit de
nombres impairs est impair, et celui de nombres pairs est pair. Puisque 3
12 est impair
et que 2
19 est pair, l’´ egalit´ e ne peut tenir ! Pourtant, la diff´ erence n’est pas grande, car
3
12 = 531 441
et
2
19 = 524 288.
L’erreur n’est pas ´ enorme, un peu moins de 2 %, ´ etal´ ee sur plusieurs octaves. Les
musiciens de la Renaissance ´ etaient au courant de cette difficult´ e. Pour une oreille bien
entraˆ ın´ ee, les intervalles les plus plaisants sont ceux dont les fr´ equences sont pr´ ecis´ ement
des multiples entiers (ou des fractions dont le num´ erateur et le d´ enominateur sont de
petits entiers). Mais ceux-ci cr´ eent l’erreur que nous venons de relever. Une solution
propos´ ee d` es la fin du XVII
e si` ecle est d’accorder le clavier en respectant les deux r` egles
suivantes : (i) le rapport de fr´ equences entre deux notes espac´ ees par une octave est
4 Pourquoi l’intervalle est-il de sept notes sur le clavier pour une quinte et de 12 pour une
octave ? Apr` es tout, « quinte » et « octave » sugg` erent les nombres 5 et 8 respectivement. La
raison repose encore sur le rˆ ole pr´ epond´ erant des notes blanches dans la gamme de do majeur.
De do ` a sol, il y a une quinte ; et si do re¸ coit le num´ ero 1, le sol ` a sa droite sera la note (blanche)
num´ ero 5. Et pour l’octave, le do suivant sera le num´ ero 8.
5 Les notes entre parenth` eses co¨ ıncident, sur le clavier, avec les notes qui les pr´ ec` edent.
Les violonistes, qui « construisent » eux-mˆ emes leurs sons ` a l’aide de leur main gauche, font
cependant une diff´ erence entre ces notes. En fait, plutˆ ot que de recommencer le cycle des
quintes sur le do, il faudrait poursuivre sur le si que les pianistes confondent avec le do.