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10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
2 et (ii) tous les rapports de fr´ equences entre notes cons´ ecutives sur le clavier sont
´ egaux. Dans ce temp´ erament, dit temp´ erament ´ egal, tous les intervalles sont faux sauf
les octaves. C’est le choix le plus « d´ emocratique », celui avec lequel nous vivons depuis
pr` es de trois si` ecles. Ainsi, un piano accord´ e selon le temp´ erament ´ egal est parfaitement
et pr´ ecis´ ement faux
6 . (Pour une pr´ esentation de l’histoire des temp´ eraments par un
math´ ematicien, voir Benson [2].)
Peut-on d´ eterminer les fr´ equences des notes du piano moderne ? Non, car il manque
encore une donn´ ee. En effet, les paragraphes pr´ ec´ edents n’ont parl´ e que de rapports
de fr´ equences. Il faut encore donner la fr´ equence d’une note pour que toutes les autres
soient fix´ ees. Il est traditionnel, depuis au moins un si` ecle, d’accorder le premier la ` a
droite du centre du piano `
a 440 Hz
7 , c’est-` a-dire de l’accorder de telle sorte que la
vibration (fondamentale) oscille 440 fois par seconde. `
A un intervalle d’une octave, la
fr´ equence augmente d’un facteur de 2. Puisqu’il y a 12 intervalles entre deux do (ou deux
la) et que tous les intervalles (c’est-` a-dire les rapports entre les fr´ equences) doivent ˆ etre
´ egaux, chacun de ces 12 intervalles doit repr´ esenter une augmentation d’un facteur de
12
√
2 entre deux notes contigu¨ es. Entre le la qui vibre `
a 440 Hz et le mi juste plus haut, le
rapport des fr´ equences doit donc ˆ etre de
12
√
2
7 = 1,49831 qui est tr` es proche du
3
2 id´ eal.
La fr´ equence du mi imm´ ediatement ` a droite du la sur le clavier temp´ er´ e ´ egalement est
donc :
12
√
2
7 × 440 Hz = 1,49831 × 440 Hz = 659,26 Hz, ce qui est tr` es proche du mi
« juste » qui vibre `
a 660 Hz.
10.3 La derni` ere note de la derni` ere symphonie de Beethoven :
une rapide introduction ` a l’analyse de Fourier
Peut-on connaˆ ıtre les notes d’un disque compact sans l’´ ecouter ? Est-il possible de
lire, des 44 100 entiers ∈ [−2
15 , 2
15
− 1] qui d´ ecrivent la musique pendant une seconde,
ce que celle-ci contient ? C’est ce que nous tenterons de faire dans cette section.
Nous nous concentrerons sur un quart de seconde tir´ e de la derni` ere note du dernier
mouvement de la Neuvi` eme Symphonie de Ludwig van Beethoven. (Dans la plupart des
interpr´ etations, cette derni` ere note est ` a peine plus longue que ce quart de seconde.)
Ce choix est particuli` erement ` a propos. La petite histoire (v´ eridique ?) dit que tous les
efforts ont ´ et´ e faits, lors de l’´ etablissement du standard du disque compact, pour que
cette fameuse symphonie puisse tenir sur un disque [7]. Quoique les longueurs des interpr´ etations varient, certaines durent pr` es de 75 minutes, tel un des enregistrements
de Karajan. C’est pourquoi un disque compact peut contenir un peu plus de 79 minutes. Une autre raison pour ce choix est que la derni` ere note de cette symphonie est
6 Le titre des deux cahiers de pr´ eludes et fugues de Jean-S´ ebastien Bach (Le clavier bien
temp´ er´ e) rappelle comment le probl` eme de l’accord ´ etait d’actualit´ e au d´ ebut du XVIII
e si` ecle.
7 La mesure de fr´ equence est le hertz (dont l’abr´ eviation est Hz). Un hertz correspond ` a
une vibration ` a la seconde. Le choix de 440 Hz pour le la est arbitraire. Certains musiciens et
orchestres s’en ´ ecartent, la plupart en augmentant la fr´ equence.
10 Pourquoi 44 100 nombres ` a la seconde ?
2 et (ii) tous les rapports de fr´ equences entre notes cons´ ecutives sur le clavier sont
´ egaux. Dans ce temp´ erament, dit temp´ erament ´ egal, tous les intervalles sont faux sauf
les octaves. C’est le choix le plus « d´ emocratique », celui avec lequel nous vivons depuis
pr` es de trois si` ecles. Ainsi, un piano accord´ e selon le temp´ erament ´ egal est parfaitement
et pr´ ecis´ ement faux
6 . (Pour une pr´ esentation de l’histoire des temp´ eraments par un
math´ ematicien, voir Benson [2].)
Peut-on d´ eterminer les fr´ equences des notes du piano moderne ? Non, car il manque
encore une donn´ ee. En effet, les paragraphes pr´ ec´ edents n’ont parl´ e que de rapports
de fr´ equences. Il faut encore donner la fr´ equence d’une note pour que toutes les autres
soient fix´ ees. Il est traditionnel, depuis au moins un si` ecle, d’accorder le premier la ` a
droite du centre du piano `
a 440 Hz
7 , c’est-` a-dire de l’accorder de telle sorte que la
vibration (fondamentale) oscille 440 fois par seconde. `
A un intervalle d’une octave, la
fr´ equence augmente d’un facteur de 2. Puisqu’il y a 12 intervalles entre deux do (ou deux
la) et que tous les intervalles (c’est-` a-dire les rapports entre les fr´ equences) doivent ˆ etre
´ egaux, chacun de ces 12 intervalles doit repr´ esenter une augmentation d’un facteur de
12
√
2 entre deux notes contigu¨ es. Entre le la qui vibre `
a 440 Hz et le mi juste plus haut, le
rapport des fr´ equences doit donc ˆ etre de
12
√
2
7 = 1,49831 qui est tr` es proche du
3
2 id´ eal.
La fr´ equence du mi imm´ ediatement ` a droite du la sur le clavier temp´ er´ e ´ egalement est
donc :
12
√
2
7 × 440 Hz = 1,49831 × 440 Hz = 659,26 Hz, ce qui est tr` es proche du mi
« juste » qui vibre `
a 660 Hz.
10.3 La derni` ere note de la derni` ere symphonie de Beethoven :
une rapide introduction ` a l’analyse de Fourier
Peut-on connaˆ ıtre les notes d’un disque compact sans l’´ ecouter ? Est-il possible de
lire, des 44 100 entiers ∈ [−2
15 , 2
15
− 1] qui d´ ecrivent la musique pendant une seconde,
ce que celle-ci contient ? C’est ce que nous tenterons de faire dans cette section.
Nous nous concentrerons sur un quart de seconde tir´ e de la derni` ere note du dernier
mouvement de la Neuvi` eme Symphonie de Ludwig van Beethoven. (Dans la plupart des
interpr´ etations, cette derni` ere note est ` a peine plus longue que ce quart de seconde.)
Ce choix est particuli` erement ` a propos. La petite histoire (v´ eridique ?) dit que tous les
efforts ont ´ et´ e faits, lors de l’´ etablissement du standard du disque compact, pour que
cette fameuse symphonie puisse tenir sur un disque [7]. Quoique les longueurs des interpr´ etations varient, certaines durent pr` es de 75 minutes, tel un des enregistrements
de Karajan. C’est pourquoi un disque compact peut contenir un peu plus de 79 minutes. Une autre raison pour ce choix est que la derni` ere note de cette symphonie est
6 Le titre des deux cahiers de pr´ eludes et fugues de Jean-S´ ebastien Bach (Le clavier bien
temp´ er´ e) rappelle comment le probl` eme de l’accord ´ etait d’actualit´ e au d´ ebut du XVIII
e si` ecle.
7 La mesure de fr´ equence est le hertz (dont l’abr´ eviation est Hz). Un hertz correspond ` a
une vibration ` a la seconde. Le choix de 440 Hz pour le la est arbitraire. Certains musiciens et
orchestres s’en ´ ecartent, la plupart en augmentant la fr´ equence.