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8 G´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires
f (x) =
1, x ∈ [0, 1],
0, x /
∈ [0, 1],
sa fonction de r´ epartition est donn´ ee par
F X (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0, x < 0,
x, x ∈ [0, 1],
1, x > 1.
b) Soit X ∼ U [0, 1] et g : [0, 1] → R une fonction strictement croissante. On
consid` ere la variable al´ eatoire Y = g(X). Montrer que sa fonction de r´ epartition
est donn´ ee par
F Y (y) = F X (g
−1 (y))
(o` u g
−1 d´ enote la fonction inverse de g satisfaisant ` a g
−1 (g(x)) = x).
c) Calculer la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire Y qui suit une loi
exponentielle de param` etre λ pour laquelle la fonction de densit´ e est donn´ ee par
f Y (y) =
0,
y<0,
λe
−λy , y ≥ 0.
d) Quelle fonction g doit-on prendre pour que, si X ∼ U [0, 1], alors Y = g(X)
suive une loi exponentielle de param` etre λ ? Expliquer comment on pourrait s’y
prendre en pratique pour g´ en´ erer une suite de nombres al´ eatoires ob´ eissant ` a une
loi de probabilit´ e exponentielle de param` etre λ.
17. Au bridge, 52 cartes sont distribu´ ees entre quatre joueurs A, B, C, D.
a) Expliquez pourquoi il y a
52!
(13!) 4 fa¸ cons de distribuer les cartes. (Au bridge,
les joueurs sont num´ erot´ es de 1 `
a 4 suivant l’ordre dans lequel ils sont appel´ es
` a annoncer. L’ordre dans lequel se jouent les cartes est diff´ erent et d´ epend des
annonces. Deux parties pour lesquelles on a les quatre mˆ emes mains attribu´ ees ` a
des joueurs diff´ erents sont consid´ er´ ees comme diff´ erentes.)
b) Combien y a-t-il de secondes en un an ? D´ eterminer combien d’ann´ ees sont
requises pour jouer toutes les parties de bridge possibles si on compl` ete une partie
toutes les secondes.
c) On voit donc qu’il est impossible d’explorer toutes les parties de bridge possibles. Cela signifie-t-il qu’il est impossible de faire des statistiques sur les parties possibles ? Les statistiques permettent de tirer des conclusions sur l’ensemble
d’une population (ici, la population des parties de bridge) `
a partir de l’analyse
d’un ´ echantillon, `
a condition que l’´ echantillon soit repr´ esentatif. Une mani` ere de
bˆ atir un ´ echantillon repr´ esentatif serait de num´ eroter les cartes de 1 ` a 52. Pour
choisir les cartes du premier joueur, on demanderait `
a l’ordinateur de choisir un
nombre parmi 52, puis un nombre parmi 51 (le num´ ero choisi correspondant `
a
8 G´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires
f (x) =
1, x ∈ [0, 1],
0, x /
∈ [0, 1],
sa fonction de r´ epartition est donn´ ee par
F X (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
0, x < 0,
x, x ∈ [0, 1],
1, x > 1.
b) Soit X ∼ U [0, 1] et g : [0, 1] → R une fonction strictement croissante. On
consid` ere la variable al´ eatoire Y = g(X). Montrer que sa fonction de r´ epartition
est donn´ ee par
F Y (y) = F X (g
−1 (y))
(o` u g
−1 d´ enote la fonction inverse de g satisfaisant ` a g
−1 (g(x)) = x).
c) Calculer la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire Y qui suit une loi
exponentielle de param` etre λ pour laquelle la fonction de densit´ e est donn´ ee par
f Y (y) =
0,
y<0,
λe
−λy , y ≥ 0.
d) Quelle fonction g doit-on prendre pour que, si X ∼ U [0, 1], alors Y = g(X)
suive une loi exponentielle de param` etre λ ? Expliquer comment on pourrait s’y
prendre en pratique pour g´ en´ erer une suite de nombres al´ eatoires ob´ eissant ` a une
loi de probabilit´ e exponentielle de param` etre λ.
17. Au bridge, 52 cartes sont distribu´ ees entre quatre joueurs A, B, C, D.
a) Expliquez pourquoi il y a
52!
(13!) 4 fa¸ cons de distribuer les cartes. (Au bridge,
les joueurs sont num´ erot´ es de 1 `
a 4 suivant l’ordre dans lequel ils sont appel´ es
` a annoncer. L’ordre dans lequel se jouent les cartes est diff´ erent et d´ epend des
annonces. Deux parties pour lesquelles on a les quatre mˆ emes mains attribu´ ees ` a
des joueurs diff´ erents sont consid´ er´ ees comme diff´ erentes.)
b) Combien y a-t-il de secondes en un an ? D´ eterminer combien d’ann´ ees sont
requises pour jouer toutes les parties de bridge possibles si on compl` ete une partie
toutes les secondes.
c) On voit donc qu’il est impossible d’explorer toutes les parties de bridge possibles. Cela signifie-t-il qu’il est impossible de faire des statistiques sur les parties possibles ? Les statistiques permettent de tirer des conclusions sur l’ensemble
d’une population (ici, la population des parties de bridge) `
a partir de l’analyse
d’un ´ echantillon, `
a condition que l’´ echantillon soit repr´ esentatif. Une mani` ere de
bˆ atir un ´ echantillon repr´ esentatif serait de num´ eroter les cartes de 1 ` a 52. Pour
choisir les cartes du premier joueur, on demanderait `
a l’ordinateur de choisir un
nombre parmi 52, puis un nombre parmi 51 (le num´ ero choisi correspondant `
a