8.6 Exercices
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11. Choisir un polynˆ ome primitif de degr´ e 2 sur F 3 et utiliser ses coefficients pour
construire le g´ en´ erateur F 3 -lin´ eaire associ´ e.
a) Construire la suite de nombres al´ eatoires produite par ce g´ en´ erateur.
b) Combien y a-t-il d’occurrences de 0, de 1 et de 2 dans une p´ eriode ?
c) V´ erifier que chaque sous-suite de longueur 2 apparaˆ ıt exactement une fois,
sauf 00.
12. Choisir un polynˆ ome primitif de degr´ e 3 sur F 3 et utiliser ses coefficients pour
construire un g´ en´ erateur F 3 -lin´ eaire associ´ e.
a) Construire la suite de nombres al´ eatoires produite par ce g´ en´ erateur.
b) Combien y a-t-il d’occurrences de 0, de 1 et de 2 dans une p´ eriode ?
c) V´ erifier que chaque sous-suite de longueur 2 apparaˆ ıt exactement trois fois,
sauf 00 qui apparaˆ ıt deux fois.
d) V´ erifier que chaque sous-suite de longueur 3 apparaˆ ıt exactement une fois,
sauf 000.
13. Choisir un polynˆ ome primitif Q 1 de degr´ e 2 sur F 2 et le g´ en´ erateur F 2 -lin´ eaire
associ´ e. Choisir un polynˆ ome primitif Q 2 de degr´ e 2 sur F 3 et le g´ en´ erateur F 3 -
lin´ eaire associ´ e.
a) Quelle est la p´ eriode du g´ en´ erateur r´ ecursif multiple combin´ e qu’on obtient
en prenant δ 1 = δ 2 = 1 ?
b) Choisir des conditions initiales et ´ ecrire la suite des sorties pendant une
p´ eriode.
14. Imaginer des g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires qui simulent le lancer d’un d´ e.
Vous voulez donc g´ en´ erer de mani` ere ´ equiprobable des nombres de l’ensemble
{1, . . . , 6}.
15. Lorsqu’on fait des simulations, on utilise souvent des suites de nombres al´ eatoires
qui ob´ eissent ` a une loi de probabilit´ e donn´ ee. Ainsi nous avons donn´ e des
g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires de [0, 1] qui ob´ eissent ` a une loi uniforme U [0, 1]
sur [0, 1]. Montrer comment combiner un tel g´ en´ erateur avec une transformation
affine pour g´ en´ erer des nombres al´ eatoires qui ob´ eissent ` a une loi uniforme U [a, b]
sur un intervalle [a, b].
Note : la fonction de densit´ e d’une variable al´ eatoire uniforme sur [a, b] est
donn´ ee par
f (x) =
1
b−a , x ∈ [a, b],
0,
x /
∈ [a, b].
16. Lorsqu’on veut g´ en´ erer des nombres al´ eatoires ob´ eissant ` a une loi de probabilit´ e
plus g´ en´ erale, on doit consid´ erer la fonction de r´ epartition : si X est une variable
al´ eatoire, alors sa fonction de r´ epartition est donn´ ee par
F X (x) = Prob(X ≤ x).
a) Montrer que, si X est une variable al´ eatoire uniforme sur [0, 1] (on ´ ecrit X ∼
U [0, 1]), de fonction de densit´ e
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11. Choisir un polynˆ ome primitif de degr´ e 2 sur F 3 et utiliser ses coefficients pour
construire le g´ en´ erateur F 3 -lin´ eaire associ´ e.
a) Construire la suite de nombres al´ eatoires produite par ce g´ en´ erateur.
b) Combien y a-t-il d’occurrences de 0, de 1 et de 2 dans une p´ eriode ?
c) V´ erifier que chaque sous-suite de longueur 2 apparaˆ ıt exactement une fois,
sauf 00.
12. Choisir un polynˆ ome primitif de degr´ e 3 sur F 3 et utiliser ses coefficients pour
construire un g´ en´ erateur F 3 -lin´ eaire associ´ e.
a) Construire la suite de nombres al´ eatoires produite par ce g´ en´ erateur.
b) Combien y a-t-il d’occurrences de 0, de 1 et de 2 dans une p´ eriode ?
c) V´ erifier que chaque sous-suite de longueur 2 apparaˆ ıt exactement trois fois,
sauf 00 qui apparaˆ ıt deux fois.
d) V´ erifier que chaque sous-suite de longueur 3 apparaˆ ıt exactement une fois,
sauf 000.
13. Choisir un polynˆ ome primitif Q 1 de degr´ e 2 sur F 2 et le g´ en´ erateur F 2 -lin´ eaire
associ´ e. Choisir un polynˆ ome primitif Q 2 de degr´ e 2 sur F 3 et le g´ en´ erateur F 3 -
lin´ eaire associ´ e.
a) Quelle est la p´ eriode du g´ en´ erateur r´ ecursif multiple combin´ e qu’on obtient
en prenant δ 1 = δ 2 = 1 ?
b) Choisir des conditions initiales et ´ ecrire la suite des sorties pendant une
p´ eriode.
14. Imaginer des g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires qui simulent le lancer d’un d´ e.
Vous voulez donc g´ en´ erer de mani` ere ´ equiprobable des nombres de l’ensemble
{1, . . . , 6}.
15. Lorsqu’on fait des simulations, on utilise souvent des suites de nombres al´ eatoires
qui ob´ eissent ` a une loi de probabilit´ e donn´ ee. Ainsi nous avons donn´ e des
g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires de [0, 1] qui ob´ eissent ` a une loi uniforme U [0, 1]
sur [0, 1]. Montrer comment combiner un tel g´ en´ erateur avec une transformation
affine pour g´ en´ erer des nombres al´ eatoires qui ob´ eissent ` a une loi uniforme U [a, b]
sur un intervalle [a, b].
Note : la fonction de densit´ e d’une variable al´ eatoire uniforme sur [a, b] est
donn´ ee par
f (x) =
1
b−a , x ∈ [a, b],
0,
x /
∈ [a, b].
16. Lorsqu’on veut g´ en´ erer des nombres al´ eatoires ob´ eissant ` a une loi de probabilit´ e
plus g´ en´ erale, on doit consid´ erer la fonction de r´ epartition : si X est une variable
al´ eatoire, alors sa fonction de r´ epartition est donn´ ee par
F X (x) = Prob(X ≤ x).
a) Montrer que, si X est une variable al´ eatoire uniforme sur [0, 1] (on ´ ecrit X ∼
U [0, 1]), de fonction de densit´ e