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1 Positionnement
• La Terre n’est pas sph´ erique ! La Terre n’est pas exactement une sph` ere, mais
plutˆ ot un ellipso¨ ıde aplati aux pˆ oles. Son rayon est de 6356 km aux pˆ oles et de
6378 km ` a l’´ equateur. Il faut ajuster les coordonn´ ees de longitude, de latitude et
d’altitude dans lesquelles on transforme les coordonn´ ees (x, y, z).
• Corrections relativistes Les vitesses des satellites sont suffisamment importantes pour qu’il faille apporter aux calculs pr´ ec´ edents des corrections, prenant
en compte la th´ eorie de la relativit´ e restreinte. En effet, les horloges des satellites
sont en mouvement rapide par rapport aux horloges terrestres. La th´ eorie de la
relativit´ e restreinte pr´ edit donc qu’elles sont au ralenti par rapport aux horloges
terrestres. D’autre part, les satellites sont au voisinage de la Terre, qui a une
masse importante. La relativit´ e g´ en´ erale pr´ evoit dans ce cas une acc´ el´ eration des
horloges des satellites. Dans un premier temps, on peut assimiler la Terre `
a un
objet massif, sph´ erique, non en rotation et sans charge ´ electrique. Alors, le calcul
se fait relativement ais´ ement `
a l’aide de la m´ etrique de Schwarzschild, qui d´ ecrit
l’effet de la relativit´ e g´ en´ erale sous ces hypoth` eses simplificatrices. Il se trouve
que cette simplification suffit pour obtenir une bonne localisation du r´ ecepteur.
Les deux effets de la relativit´ e restreinte et de la relativit´ e g´ en´ erale vont en sens
contraire l’un de l’autre, mais ils ne se compensent que partiellement, et on ne peut
donc se passer d’une correction relativiste aux calculs pr´ ec´ edents pour obtenir une
localisation ad´ equate du r´ ecepteur. Plus de d´ etails dans [6].
Applications du GPS Elles sont nombreuses. En voici quelques-unes :
• Un r´ ecepteur GPS permet de retrouver son chemin dans la nature. C’est utile pour
les randonneurs, les navigateurs `
a voile, les kayakistes de mer, etc. Le r´ ecepteur
permet d’enregistrer des points rep` eres. On enregistre un point rep` ere, soit au
moment o` u on passe sur le point, auquel cas le r´ ecepteur a calcul´ e sa position, soit
en rentrant ses coordonn´ ees prises sur une carte. En joignant des points rep` eres
par des segments de droite, on peut enregistrer des « routes ». Le r´ ecepteur peut
ensuite afficher sur son ´ ecran notre position par rapport `
a ces points rep` eres ou
nous diriger pour suivre une route. Parmi les options plus avanc´ ees, on peut aussi
installer dans le r´ ecepteur des banques de cartes topographiques. Le r´ ecepteur
affiche alors une portion de la carte sur son ´ ecran et sa propre position sur la
carte. Il peut aussi afficher sur la carte les points rep` eres et les routes que l’on a
pr´ ealablement enregistr´ es.
• De plus en plus de v´ ehicules, principalement des taxis, sont munis de GPS pour
aider `
a trouver une adresse. Il existe en Europe de l’Ouest et en Am´ erique du Nord
des logiciels fonctionnant avec un GPS et donnant les instructions pour trouver
presque n’importe quelle adresse.
• Vous ˆ etes muni d’une ancienne carte topographique sur laquelle le chemin que
nous parcourez n’est pas inscrit ? Parcourez le chemin avec votre GPS ouvert qui
enregistre votre trajet et branchez-vous ensuite sur un ordinateur avec un logiciel
appropri´ e : vous pourrez superposer le trac´ e du chemin parcouru sur votre carte.
Si vous ne disposez pas d’une carte num´ eris´ ee vous pouvez t´ el´ echarger votre carte
1 Positionnement
• La Terre n’est pas sph´ erique ! La Terre n’est pas exactement une sph` ere, mais
plutˆ ot un ellipso¨ ıde aplati aux pˆ oles. Son rayon est de 6356 km aux pˆ oles et de
6378 km ` a l’´ equateur. Il faut ajuster les coordonn´ ees de longitude, de latitude et
d’altitude dans lesquelles on transforme les coordonn´ ees (x, y, z).
• Corrections relativistes Les vitesses des satellites sont suffisamment importantes pour qu’il faille apporter aux calculs pr´ ec´ edents des corrections, prenant
en compte la th´ eorie de la relativit´ e restreinte. En effet, les horloges des satellites
sont en mouvement rapide par rapport aux horloges terrestres. La th´ eorie de la
relativit´ e restreinte pr´ edit donc qu’elles sont au ralenti par rapport aux horloges
terrestres. D’autre part, les satellites sont au voisinage de la Terre, qui a une
masse importante. La relativit´ e g´ en´ erale pr´ evoit dans ce cas une acc´ el´ eration des
horloges des satellites. Dans un premier temps, on peut assimiler la Terre `
a un
objet massif, sph´ erique, non en rotation et sans charge ´ electrique. Alors, le calcul
se fait relativement ais´ ement `
a l’aide de la m´ etrique de Schwarzschild, qui d´ ecrit
l’effet de la relativit´ e g´ en´ erale sous ces hypoth` eses simplificatrices. Il se trouve
que cette simplification suffit pour obtenir une bonne localisation du r´ ecepteur.
Les deux effets de la relativit´ e restreinte et de la relativit´ e g´ en´ erale vont en sens
contraire l’un de l’autre, mais ils ne se compensent que partiellement, et on ne peut
donc se passer d’une correction relativiste aux calculs pr´ ec´ edents pour obtenir une
localisation ad´ equate du r´ ecepteur. Plus de d´ etails dans [6].
Applications du GPS Elles sont nombreuses. En voici quelques-unes :
• Un r´ ecepteur GPS permet de retrouver son chemin dans la nature. C’est utile pour
les randonneurs, les navigateurs `
a voile, les kayakistes de mer, etc. Le r´ ecepteur
permet d’enregistrer des points rep` eres. On enregistre un point rep` ere, soit au
moment o` u on passe sur le point, auquel cas le r´ ecepteur a calcul´ e sa position, soit
en rentrant ses coordonn´ ees prises sur une carte. En joignant des points rep` eres
par des segments de droite, on peut enregistrer des « routes ». Le r´ ecepteur peut
ensuite afficher sur son ´ ecran notre position par rapport `
a ces points rep` eres ou
nous diriger pour suivre une route. Parmi les options plus avanc´ ees, on peut aussi
installer dans le r´ ecepteur des banques de cartes topographiques. Le r´ ecepteur
affiche alors une portion de la carte sur son ´ ecran et sa propre position sur la
carte. Il peut aussi afficher sur la carte les points rep` eres et les routes que l’on a
pr´ ealablement enregistr´ es.
• De plus en plus de v´ ehicules, principalement des taxis, sont munis de GPS pour
aider `
a trouver une adresse. Il existe en Europe de l’Ouest et en Am´ erique du Nord
des logiciels fonctionnant avec un GPS et donnant les instructions pour trouver
presque n’importe quelle adresse.
• Vous ˆ etes muni d’une ancienne carte topographique sur laquelle le chemin que
nous parcourez n’est pas inscrit ? Parcourez le chemin avec votre GPS ouvert qui
enregistre votre trajet et branchez-vous ensuite sur un ordinateur avec un logiciel
appropri´ e : vous pourrez superposer le trac´ e du chemin parcouru sur votre carte.
Si vous ne disposez pas d’une carte num´ eris´ ee vous pouvez t´ el´ echarger votre carte