1.2 Le GPS (Global Positioning System)
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Fig. 1.2. Petit angle `
a gauche (perte de pr´ ecision) et grand angle ` a droite
2(a 4 − a 1 ) 2(b 4 − b 1 ) 2(c 4 − c 1 )
2(a 4 − a 2 ) 2(b 4 − b 2 ) 2(c 4 − c 2 )
2(a 4 − a 3 ) 2(b 4 − b 3 ) 2(c 4 − c 3 )
.
Plus ce d´ enominateur est petit, plus les erreurs sont accentu´ ees dans le calcul. On a
donc int´ erˆ et ` a choisir des satellites pour lesquels ce d´ enominateur est maximal.
Des sujets plus avanc´ es peuvent ˆ etre ´ etudi´ es dans le cadre d’un projet.
Quelques exemples de raffinements
• GPS diff´ erentiels (DGPS) Une source d’impr´ ecision vient du fait que les
calculs utilisent la constante c qui est la vitesse de propagation de la lumi` ere dans
le vide. En pratique une onde ´ electromagn´ etique est d´ efl´ echie par l’atmosph` ere,
ce qui allonge sa trajectoire et son temps de parcours. Pour obtenir une meilleure
approximation de la vitesse du signal le long de sa trajectoire, on utilise un syst` eme
de GPS diff´ erentiels. On compare le temps de parcours du signal du satellite au
r´ ecepteur ` a celui du temps de parcours du mˆ eme satellite ` a un deuxi` eme r´ ecepteur
situ´ e dans la mˆ eme r´ egion et dont la position est connue. Ceci permet de calculer
la vitesse de propagation du signal puisque celui-ci ne voyage pas dans le vide. On
peut augmenter alors la pr´ ecision des mesures `
a l’ordre du centim` etre.
• Le signal envoy´ e par chaque satellite est un signal al´ eatoire, mais qui est r´ ep´ et´ e ` a
des intervalles r´ eguliers parfaitement connus. La p´ eriode est relativement courte,
si bien qu’en une p´ eriode, le signal parcourt seulement quelques centaines de kilom` etres. Quand le r´ ecepteur re¸ coit le d´ ebut d’une p´ eriode du signal du satellite,
il lui faut d´ eterminer ` a quel moment ce d´ ebut de p´ eriode a ´ et´ e envoy´ e. A priori
on a une incertitude d’un nombre entier de p´ eriodes.
• GPS en mouvement rapide Installer des GPS sur des objets en mouvement
rapide (par exemple, un avion) et les faire calculer en temps r´ eel constitue une
application naturelle : si un avion doit par exemple atterrir dans le brouillard, il
doit connaˆ ıtre sa position pr´ ecise ` a chaque instant, et le temps de calcul de la
position doit ˆ etre r´ eduit au minimum.
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Fig. 1.2. Petit angle `
a gauche (perte de pr´ ecision) et grand angle ` a droite
2(a 4 − a 1 ) 2(b 4 − b 1 ) 2(c 4 − c 1 )
2(a 4 − a 2 ) 2(b 4 − b 2 ) 2(c 4 − c 2 )
2(a 4 − a 3 ) 2(b 4 − b 3 ) 2(c 4 − c 3 )
.
Plus ce d´ enominateur est petit, plus les erreurs sont accentu´ ees dans le calcul. On a
donc int´ erˆ et ` a choisir des satellites pour lesquels ce d´ enominateur est maximal.
Des sujets plus avanc´ es peuvent ˆ etre ´ etudi´ es dans le cadre d’un projet.
Quelques exemples de raffinements
• GPS diff´ erentiels (DGPS) Une source d’impr´ ecision vient du fait que les
calculs utilisent la constante c qui est la vitesse de propagation de la lumi` ere dans
le vide. En pratique une onde ´ electromagn´ etique est d´ efl´ echie par l’atmosph` ere,
ce qui allonge sa trajectoire et son temps de parcours. Pour obtenir une meilleure
approximation de la vitesse du signal le long de sa trajectoire, on utilise un syst` eme
de GPS diff´ erentiels. On compare le temps de parcours du signal du satellite au
r´ ecepteur ` a celui du temps de parcours du mˆ eme satellite ` a un deuxi` eme r´ ecepteur
situ´ e dans la mˆ eme r´ egion et dont la position est connue. Ceci permet de calculer
la vitesse de propagation du signal puisque celui-ci ne voyage pas dans le vide. On
peut augmenter alors la pr´ ecision des mesures `
a l’ordre du centim` etre.
• Le signal envoy´ e par chaque satellite est un signal al´ eatoire, mais qui est r´ ep´ et´ e ` a
des intervalles r´ eguliers parfaitement connus. La p´ eriode est relativement courte,
si bien qu’en une p´ eriode, le signal parcourt seulement quelques centaines de kilom` etres. Quand le r´ ecepteur re¸ coit le d´ ebut d’une p´ eriode du signal du satellite,
il lui faut d´ eterminer ` a quel moment ce d´ ebut de p´ eriode a ´ et´ e envoy´ e. A priori
on a une incertitude d’un nombre entier de p´ eriodes.
• GPS en mouvement rapide Installer des GPS sur des objets en mouvement
rapide (par exemple, un avion) et les faire calculer en temps r´ eel constitue une
application naturelle : si un avion doit par exemple atterrir dans le brouillard, il
doit connaˆ ıtre sa position pr´ ecise ` a chaque instant, et le temps de calcul de la
position doit ˆ etre r´ eduit au minimum.