8
1 Positionnement
x =
2c
2 τ (T 4 − T 1 ) + B 1 2(b 4 − b 1 ) 2(c 4 − c 1 )
2c
2 τ (T 4 − T 2 ) + B 2 2(b 4 − b 2 ) 2(c 4 − c 2 )
2c
2 τ (T 4 − T 3 ) + B 3 2(b 4 − b 3 ) 2(c 4 − c 3 )
2(a 4 − a 1 ) 2(b 4 − b 1 ) 2(c 4 − c 1 )
2(a 4 − a 2 ) 2(b 4 − b 2 ) 2(c 4 − c 2 )
2(a 4 − a 3 ) 2(b 4 − b 3 ) 2(c 4 − c 3 )
,
y =
2(a 4 − a 1 ) 2c
2 τ (T 4 − T 1 ) + B 1 2(c 4 − c 1 )
2(a 4 − a 2 ) 2c
2 τ (T 4 − T 2 ) + B 2 2(c 4 − c 2 )
2(a 4 − a 3 ) 2c
2 τ (T 4 − T 3 ) + B 3 2(c 4 − c 3 )
2(a 4 − a 1 ) 2(b 4 − b 1 ) 2(c 4 − c 1 )
2(a 4 − a 2 ) 2(b 4 − b 2 ) 2(c 4 − c 2 )
2(a 4 − a 3 ) 2(b 4 − b 3 ) 2(c 4 − c 3 )
,
z =
2(a 4 − a 1 ) 2(b 4 − b 1 ) 2c
2 τ (T 4 − T 1 ) + B 1
2(a 4 − a 2 ) 2(b 4 − b 2 ) 2c
2 τ (T 4 − T 2 ) + B 2
2(a 4 − a 3 ) 2(b 4 − b 3 ) 2c
2 τ (T 4 − T 3 ) + B 3
2(a 4 − a 1 ) 2(b 4 − b 1 ) 2(c 4 − c 1 )
2(a 4 − a 2 ) 2(b 4 − b 2 ) 2(c 4 − c 2 )
2(a 4 − a 3 ) 2(b 4 − b 3 ) 2(c 4 − c 3 )
.
(1.14)
Ceci n’a de sens que si le d´ enominateur est non nul. Or, le d´ enominateur est nul si
et seulement si les quatre satellites sont situ´ es dans un mˆ eme plan (voir l’exercice 1).
Lorsqu’on dispose les satellites sur leurs orbites, il faut donc s’assurer qu’en aucun
instant, on ne puisse avoir quatre satellites visibles d’un mˆ eme point de la Terre et situ´ es
dans un mˆ eme plan. On remplace les solutions de (1.14) dans la quatri` eme ´ equation du
syst` eme (1.12). On obtient une solution quadratique en τ qui admet deux racines τ 1 et
τ 2 . On remplace ces valeurs dans (1.14), ce qui nous donne deux ensembles de valeurs
(x 1 , y 1 , z 1 ) et (x 2 , y 2 , z 2 ) pour la position du r´ ecepteur. On ´ elimine la valeur irr´ ealiste.
Quels satellites doit choisir le r´ ecepteur s’il en capte plus de quatre ? Dans ce
cas, le r´ ecepteur a le choix des donn´ ees qu’il va utiliser pour calculer sa position. Pour
cela, il doit choisir les satellites avec lesquels l’erreur de calcul sera minimale. En effet,
les temps de parcours des signaux sont approximatifs. Cela signifie que les distances des
satellites au r´ ecepteur ne sont connues qu’approximativement. Graphiquement, on peut
repr´ esenter la r´ egion d’incertitude en ´ epaississant la surface de la sph` ere. L’intersection
des sph` eres ´ epaissies est un ensemble dont la taille est reli´ ee ` a l’incertitude sur la solution.
On peut facilement se convaincre que plus l’angle avec lequel les sph` eres se coupent est
grand, plus la zone d’incertitude est petite. Au contraire, plus les sph` eres s’intersectent
tangentiellement, plus la zone d’incertitude est grande. On a donc avantage `
a choisir les
satellites qui sont les centres de sph` eres S i se coupant avec le plus grand angle possible
(figure 1.2).
C’est la mani` ere g´ eom´ etrique de voir les choses. Alg´ ebriquement on voit que les
valeurs de x, y, z en fonction de τ dans (1.14) sont obtenues en divisant par
1 Positionnement
x =
2c
2 τ (T 4 − T 1 ) + B 1 2(b 4 − b 1 ) 2(c 4 − c 1 )
2c
2 τ (T 4 − T 2 ) + B 2 2(b 4 − b 2 ) 2(c 4 − c 2 )
2c
2 τ (T 4 − T 3 ) + B 3 2(b 4 − b 3 ) 2(c 4 − c 3 )
2(a 4 − a 1 ) 2(b 4 − b 1 ) 2(c 4 − c 1 )
2(a 4 − a 2 ) 2(b 4 − b 2 ) 2(c 4 − c 2 )
2(a 4 − a 3 ) 2(b 4 − b 3 ) 2(c 4 − c 3 )
,
y =
2(a 4 − a 1 ) 2c
2 τ (T 4 − T 1 ) + B 1 2(c 4 − c 1 )
2(a 4 − a 2 ) 2c
2 τ (T 4 − T 2 ) + B 2 2(c 4 − c 2 )
2(a 4 − a 3 ) 2c
2 τ (T 4 − T 3 ) + B 3 2(c 4 − c 3 )
2(a 4 − a 1 ) 2(b 4 − b 1 ) 2(c 4 − c 1 )
2(a 4 − a 2 ) 2(b 4 − b 2 ) 2(c 4 − c 2 )
2(a 4 − a 3 ) 2(b 4 − b 3 ) 2(c 4 − c 3 )
,
z =
2(a 4 − a 1 ) 2(b 4 − b 1 ) 2c
2 τ (T 4 − T 1 ) + B 1
2(a 4 − a 2 ) 2(b 4 − b 2 ) 2c
2 τ (T 4 − T 2 ) + B 2
2(a 4 − a 3 ) 2(b 4 − b 3 ) 2c
2 τ (T 4 − T 3 ) + B 3
2(a 4 − a 1 ) 2(b 4 − b 1 ) 2(c 4 − c 1 )
2(a 4 − a 2 ) 2(b 4 − b 2 ) 2(c 4 − c 2 )
2(a 4 − a 3 ) 2(b 4 − b 3 ) 2(c 4 − c 3 )
.
(1.14)
Ceci n’a de sens que si le d´ enominateur est non nul. Or, le d´ enominateur est nul si
et seulement si les quatre satellites sont situ´ es dans un mˆ eme plan (voir l’exercice 1).
Lorsqu’on dispose les satellites sur leurs orbites, il faut donc s’assurer qu’en aucun
instant, on ne puisse avoir quatre satellites visibles d’un mˆ eme point de la Terre et situ´ es
dans un mˆ eme plan. On remplace les solutions de (1.14) dans la quatri` eme ´ equation du
syst` eme (1.12). On obtient une solution quadratique en τ qui admet deux racines τ 1 et
τ 2 . On remplace ces valeurs dans (1.14), ce qui nous donne deux ensembles de valeurs
(x 1 , y 1 , z 1 ) et (x 2 , y 2 , z 2 ) pour la position du r´ ecepteur. On ´ elimine la valeur irr´ ealiste.
Quels satellites doit choisir le r´ ecepteur s’il en capte plus de quatre ? Dans ce
cas, le r´ ecepteur a le choix des donn´ ees qu’il va utiliser pour calculer sa position. Pour
cela, il doit choisir les satellites avec lesquels l’erreur de calcul sera minimale. En effet,
les temps de parcours des signaux sont approximatifs. Cela signifie que les distances des
satellites au r´ ecepteur ne sont connues qu’approximativement. Graphiquement, on peut
repr´ esenter la r´ egion d’incertitude en ´ epaississant la surface de la sph` ere. L’intersection
des sph` eres ´ epaissies est un ensemble dont la taille est reli´ ee ` a l’incertitude sur la solution.
On peut facilement se convaincre que plus l’angle avec lequel les sph` eres se coupent est
grand, plus la zone d’incertitude est petite. Au contraire, plus les sph` eres s’intersectent
tangentiellement, plus la zone d’incertitude est grande. On a donc avantage `
a choisir les
satellites qui sont les centres de sph` eres S i se coupant avec le plus grand angle possible
(figure 1.2).
C’est la mani` ere g´ eom´ etrique de voir les choses. Alg´ ebriquement on voit que les
valeurs de x, y, z en fonction de τ dans (1.14) sont obtenues en divisant par