1.2 Le GPS (Global Positioning System)
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T i = (heure d’arriv´ ee du signal sur l’horloge du r´ ecepteur)
− (heure de d´ epart du signal sur l’horloge du satellite).
La solution vient du fait que l’erreur entre les temps de parcours r´ eels t i et les temps
de parcours fictifs T i est la mˆ eme pour chaque satellite : T i = τ + t i , i = 1, 2, 3, o` u
t i = (heure d’arriv´ ee du signal sur l’horloge du satellite)
− (heure de d´ epart du signal sur l’horloge du satellite)
et τ est donn´ e par
τ = (heure d’arriv´ ee du signal sur l’horloge du r´ ecepteur)
− (heure d’arriv´ ee du signal sur l’horloge du satellite).
(1.10)
La constante τ ainsi calcul´ ee est le d´ ecalage entre l’horloge des satellites et l’horloge
du r´ ecepteur. C’est une quatri` eme inconnue, τ , qui s’ajoute aux trois inconnues x, y, z,
que sont les coordonn´ ees de la position du r´ ecepteur. Pour obtenir un nombre fini de
solutions pour un syst` eme ` a quatre inconnues, il nous faut en g´ en´ eral quatre ´ equations.
Il est tr` es simple d’obtenir une quatri` eme ´ equation : le r´ ecepteur mesure un quatri` eme
temps de parcours (fictif) T 4 du signal ´ emis par un quatri` eme satellite P 4 . En notant
que pour i = 1, . . . , 4, on a t i = T i − τ , on a donc le syst` eme
(x − a 1 )
2 + (y − b 1 )
2 + (z − c 1 )
2
= c
2 (T 1 − τ )
2 ,
(x − a 2 )
2 + (y − b 2 )
2 + (z − c 2 )
2
= c
2 (T 2 − τ )
2 ,
(x − a 3 )
2 + (y − b 3 )
2 + (z − c 3 )
2
= c
2 (T 3 − τ )
2 ,
(x − a 4 )
2 + (y − b 4 )
2 + (z − c 4 )
2
= c
2 (T 4 − τ )
2 ,
(1.11)
aux quatre inconnues x, y, z, τ . Dans ce syst` eme, on peut, comme pr´ ec´ edemment, faire
des op´ erations ´ el´ ementaires permettant de remplacer trois des ´ equations quadratiques
par des ´ equations lin´ eaires. Pour ce faire, on soustrait la quatri` eme ´ equation `
a chacune
des trois premi` eres. On obtient le syst` eme ´ equivalent :
2(a 4 − a 1 )x + 2(b 4 − b 1 )y + 2(c 4 − c 1 )z = 2c
2 τ (T 4 − T 1 ) + B 1 ,
2(a 4 − a 2 )x + 2(b 4 − b 2 )y + 2(c 4 − c 2 )z = 2c
2 τ (T 4 − T 2 ) + B 2 ,
2(a 4 − a 3 )x + 2(b 4 − b 3 )y + 2(c 4 − c 3 )z = 2c
2 τ (T 4 − T 3 ) + B 3 ,
(x − a 4 )
2 + (y − b 4 )
2 + (z − c 4 )
2
= c
2 (T 4 − τ )
2 ,
(1.12)
o` u
B 1 = c
2 (T
2
1 − T
2
4 ) + (a
2
4 − a
2
1 ) + (b
2
4 − b
2
1 ) + (c
2
4 − c
2
1 ),
B 2 = c
2 (T
2
2 − T
2
4 ) + (a
2
4 − a
2
2 ) + (b
2
4 − b
2
2 ) + (c
2
4 − c
2
2 ),
B 3 = c
2 (T
2
3 − T
2
4 ) + (a
2
4 − a
2
3 ) + (b
2
4 − b
2
3 ) + (c
2
4 − c
2
3 ).
(1.13)
Dans le syst` eme (1.12), la r` egle de Cramer appliqu´ ee aux trois premi` eres ´ equations
permet de tirer x, y, z en fonction de τ :
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T i = (heure d’arriv´ ee du signal sur l’horloge du r´ ecepteur)
− (heure de d´ epart du signal sur l’horloge du satellite).
La solution vient du fait que l’erreur entre les temps de parcours r´ eels t i et les temps
de parcours fictifs T i est la mˆ eme pour chaque satellite : T i = τ + t i , i = 1, 2, 3, o` u
t i = (heure d’arriv´ ee du signal sur l’horloge du satellite)
− (heure de d´ epart du signal sur l’horloge du satellite)
et τ est donn´ e par
τ = (heure d’arriv´ ee du signal sur l’horloge du r´ ecepteur)
− (heure d’arriv´ ee du signal sur l’horloge du satellite).
(1.10)
La constante τ ainsi calcul´ ee est le d´ ecalage entre l’horloge des satellites et l’horloge
du r´ ecepteur. C’est une quatri` eme inconnue, τ , qui s’ajoute aux trois inconnues x, y, z,
que sont les coordonn´ ees de la position du r´ ecepteur. Pour obtenir un nombre fini de
solutions pour un syst` eme ` a quatre inconnues, il nous faut en g´ en´ eral quatre ´ equations.
Il est tr` es simple d’obtenir une quatri` eme ´ equation : le r´ ecepteur mesure un quatri` eme
temps de parcours (fictif) T 4 du signal ´ emis par un quatri` eme satellite P 4 . En notant
que pour i = 1, . . . , 4, on a t i = T i − τ , on a donc le syst` eme
(x − a 1 )
2 + (y − b 1 )
2 + (z − c 1 )
2
= c
2 (T 1 − τ )
2 ,
(x − a 2 )
2 + (y − b 2 )
2 + (z − c 2 )
2
= c
2 (T 2 − τ )
2 ,
(x − a 3 )
2 + (y − b 3 )
2 + (z − c 3 )
2
= c
2 (T 3 − τ )
2 ,
(x − a 4 )
2 + (y − b 4 )
2 + (z − c 4 )
2
= c
2 (T 4 − τ )
2 ,
(1.11)
aux quatre inconnues x, y, z, τ . Dans ce syst` eme, on peut, comme pr´ ec´ edemment, faire
des op´ erations ´ el´ ementaires permettant de remplacer trois des ´ equations quadratiques
par des ´ equations lin´ eaires. Pour ce faire, on soustrait la quatri` eme ´ equation `
a chacune
des trois premi` eres. On obtient le syst` eme ´ equivalent :
2(a 4 − a 1 )x + 2(b 4 − b 1 )y + 2(c 4 − c 1 )z = 2c
2 τ (T 4 − T 1 ) + B 1 ,
2(a 4 − a 2 )x + 2(b 4 − b 2 )y + 2(c 4 − c 2 )z = 2c
2 τ (T 4 − T 2 ) + B 2 ,
2(a 4 − a 3 )x + 2(b 4 − b 3 )y + 2(c 4 − c 3 )z = 2c
2 τ (T 4 − T 3 ) + B 3 ,
(x − a 4 )
2 + (y − b 4 )
2 + (z − c 4 )
2
= c
2 (T 4 − τ )
2 ,
(1.12)
o` u
B 1 = c
2 (T
2
1 − T
2
4 ) + (a
2
4 − a
2
1 ) + (b
2
4 − b
2
1 ) + (c
2
4 − c
2
1 ),
B 2 = c
2 (T
2
2 − T
2
4 ) + (a
2
4 − a
2
2 ) + (b
2
4 − b
2
2 ) + (c
2
4 − c
2
2 ),
B 3 = c
2 (T
2
3 − T
2
4 ) + (a
2
4 − a
2
3 ) + (b
2
4 − b
2
3 ) + (c
2
4 − c
2
3 ).
(1.13)
Dans le syst` eme (1.12), la r` egle de Cramer appliqu´ ee aux trois premi` eres ´ equations
permet de tirer x, y, z en fonction de τ :