6
1 Positionnement
x = R cos L cos l,
y = R sin L cos l,
z = R sin l.
(1.7)
Comme l ∈ [−90
◦ , 90
◦ ], on obtient
l = arcsin
z
R
,
(1.8)
ce qui permet de calculer cos l. La longitude L est alors uniquement d´ etermin´ ee par les
deux ´ equations :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
cos L =
x
R cos l
,
sin L =
y
R cos l
.
(1.9)
Calcul de la position du r´ ecepteur Soit (x, y, z) la position du r´ ecepteur. On
commence par calculer sa distance h au centre de la Terre. Celle-ci est donn´ ee par
h =
x 2 + y 2 + z 2 .
On a maintenant deux choix pour calculer sa latitude et sa longitude : adapter les
formules (1.8) et (1.9) en rempla¸ cant R par h ou encore, dire que le r´ ecepteur a la mˆ eme
longitude et latitude que sa projection sur la sph` ere correspondant au niveau de la mer,
` a savoir le point :
(x 0 , y 0 , z 0 ) =
x
R
h
, y
R
h
, z
R
h
.
L’altitude du r´ ecepteur est h − R.
1.2.3 L’adaptation aux contraintes pratiques
Nous venons de pr´ esenter la th´ eorie. Malheureusement, en pratique, les choses sont
un peu plus compliqu´ ees, car les temps mesur´ es sont tr` es petits, et il faut donc faire des
mesures tr` es pr´ ecises. Les satellites sont ´ equip´ es d’horloges atomiques tr` es coˆ uteuses et
parfaitement synchronis´ ees alors que le r´ ecepteur a une horloge de qualit´ e moindre, ce
qui lui permet d’ˆ etre `
a la port´ ee de toutes les bourses. Cette horloge de moindre qualit´ e
peut quand mˆ eme calculer le temps de parcours du signal de mani` ere ad´ equate, mais
elle ne peut rester synchronis´ ee avec les horloges des satellites. Comment contourne-ton la difficult´ e ? Auparavant, nous avions trois inconnues x, y, z. Pour les trouver, nous
avons donc eu besoin de mesurer trois quantit´ es t 1 , t 2 et t 3 . Maintenant, notre r´ ecepteur
mesure bien des temps T 1 , T 2 et T 3 , mais ce sont des temps de parcours fictifs, car le
r´ ecepteur ne sait pas si son horloge est synchronis´ ee avec celle des satellites. Le temps
T i mesur´ e par le r´ ecepteur est donc donn´ e par
1 Positionnement
x = R cos L cos l,
y = R sin L cos l,
z = R sin l.
(1.7)
Comme l ∈ [−90
◦ , 90
◦ ], on obtient
l = arcsin
z
R
,
(1.8)
ce qui permet de calculer cos l. La longitude L est alors uniquement d´ etermin´ ee par les
deux ´ equations :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
cos L =
x
R cos l
,
sin L =
y
R cos l
.
(1.9)
Calcul de la position du r´ ecepteur Soit (x, y, z) la position du r´ ecepteur. On
commence par calculer sa distance h au centre de la Terre. Celle-ci est donn´ ee par
h =
x 2 + y 2 + z 2 .
On a maintenant deux choix pour calculer sa latitude et sa longitude : adapter les
formules (1.8) et (1.9) en rempla¸ cant R par h ou encore, dire que le r´ ecepteur a la mˆ eme
longitude et latitude que sa projection sur la sph` ere correspondant au niveau de la mer,
` a savoir le point :
(x 0 , y 0 , z 0 ) =
x
R
h
, y
R
h
, z
R
h
.
L’altitude du r´ ecepteur est h − R.
1.2.3 L’adaptation aux contraintes pratiques
Nous venons de pr´ esenter la th´ eorie. Malheureusement, en pratique, les choses sont
un peu plus compliqu´ ees, car les temps mesur´ es sont tr` es petits, et il faut donc faire des
mesures tr` es pr´ ecises. Les satellites sont ´ equip´ es d’horloges atomiques tr` es coˆ uteuses et
parfaitement synchronis´ ees alors que le r´ ecepteur a une horloge de qualit´ e moindre, ce
qui lui permet d’ˆ etre `
a la port´ ee de toutes les bourses. Cette horloge de moindre qualit´ e
peut quand mˆ eme calculer le temps de parcours du signal de mani` ere ad´ equate, mais
elle ne peut rester synchronis´ ee avec les horloges des satellites. Comment contourne-ton la difficult´ e ? Auparavant, nous avions trois inconnues x, y, z. Pour les trouver, nous
avons donc eu besoin de mesurer trois quantit´ es t 1 , t 2 et t 3 . Maintenant, notre r´ ecepteur
mesure bien des temps T 1 , T 2 et T 3 , mais ce sont des temps de parcours fictifs, car le
r´ ecepteur ne sait pas si son horloge est synchronis´ ee avec celle des satellites. Le temps
T i mesur´ e par le r´ ecepteur est donc donn´ e par