1.2 Le GPS (Global Positioning System)
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Les satellites sont dispos´ es de telle sorte que jamais trois d’entre eux ne sont align´ es.
Ceci garantit qu’au moins un des trois d´ eterminants 2 × 2
a 3 − a 1 b 3 − b 1
a 3 − a 2 b 3 − b 2
,
a 3 − a 1 c 3 − c 1
a 3 − a 2 c 3 − c 2
,
b 3 − b 1 c 3 − c 1
b 3 − b 2 c 3 − c 2
,
est non nul. En effet, si ces trois d´ eterminants sont nuls, alors les vecteurs (a 3 − a 1 , b 3 −
b 1 , c 3 − c 1 ) et (a 3 − a 2 , b 3 − b 2 , c 3 − c 2 ) sont collin´ eaires (leur produit vectoriel est nul),
c’est-` a-dire que les trois points P 1 , P 2 et P 3 sont align´ es.
Supposons, par exemple, que le premier d´ eterminant soit non nul. En utilisant la
r` egle de Cramer, on peut tirer x et y en fonction de z dans les deux premi` eres ´ equations
de (1.4) :
x =
A 1 − 2(c 3 − c 1 )z 2(b 3 − b 1 )
A 2 − 2(c 3 − c 2 )z 2(b 3 − b 2 )
2(a 3 − a 1 ) 2(b 3 − b 1 )
2(a 3 − a 2 ) 2(b 3 − b 2 )
,
y =
2(a 3 − a 1 ) A 1 − 2(c 3 − c 1 )z
2(a 3 − a 2 ) A 2 − 2(c 3 − c 2 )z
2(a 3 − a 1 ) 2(b 3 − b 1 )
2(a 3 − a 2 ) 2(b 3 − b 2 )
.
(1.6)
En rempla¸ cant x et y par ces valeurs dans la troisi` eme ´ equation de (1.4), on obtient une
´ equation quadratique en z dont on peut calculer les deux solutions z 1 et z 2 . En rempla¸ cant z successivement par z 1 et z 2 dans (1.6), on obtient les valeurs correspondantes
x 1 , x 2 et y 1 , y 2 . Un logiciel de manipulations symboliques peut facilement donner les
formules, mais ces formules sont trop grosses pour avoir quelque int´ erˆ et.
Un choix d’axes de coordonn´ ees Nulle part dans le calcul pr´ ec´ edent n’avons-nous
eu `
a choisir explicitement le syst` eme d’axes. Mais, pour faire le lien avec la position
exprim´ ee ` a l’aide de la longitude, la latitude et l’altitude, nous faisons le choix suivant :
• le centre des coordonn´ ees est le centre de la Terre ;
• l’axe z passe par les pˆ oles et est orient´ e vers le pˆ ole Nord ;
• les axes x et y sont dans le plan de l’´ equateur ;
• le demi-axe x positif (respectivement demi-axe y positif) pointe `
a la longitude 0
(respectivement 90 degr´ es ouest).
Le rayon de la Terre ´ etant R (R est environ 6365 km), une solution (x i , y i , z i ) est
acceptable si x
2
i + y
2
i + z
2
i ≈ (6365 ± 50)
2 . L’incertitude de 50 km permet de pallier
largement l’altitude en montagne ou pour un avion. Des coordonn´ ees naturelles sur la
Terre sont donn´ ees par la longitude L, la latitude l et la distance h au centre de la Terre
(l’altitude par rapport au niveau de la mer est alors h − R). La longitude et la latitude
sont des angles que l’on va mesurer en degr´ es. Si un point (x, y, z) est sur la sph` ere de
rayon R, c’est-` a-dire `
a l’altitude 0, alors sa longitude et sa latitude sont obtenues en
r´ esolvant le syst` eme d’´ equations
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Les satellites sont dispos´ es de telle sorte que jamais trois d’entre eux ne sont align´ es.
Ceci garantit qu’au moins un des trois d´ eterminants 2 × 2
a 3 − a 1 b 3 − b 1
a 3 − a 2 b 3 − b 2
,
a 3 − a 1 c 3 − c 1
a 3 − a 2 c 3 − c 2
,
b 3 − b 1 c 3 − c 1
b 3 − b 2 c 3 − c 2
,
est non nul. En effet, si ces trois d´ eterminants sont nuls, alors les vecteurs (a 3 − a 1 , b 3 −
b 1 , c 3 − c 1 ) et (a 3 − a 2 , b 3 − b 2 , c 3 − c 2 ) sont collin´ eaires (leur produit vectoriel est nul),
c’est-` a-dire que les trois points P 1 , P 2 et P 3 sont align´ es.
Supposons, par exemple, que le premier d´ eterminant soit non nul. En utilisant la
r` egle de Cramer, on peut tirer x et y en fonction de z dans les deux premi` eres ´ equations
de (1.4) :
x =
A 1 − 2(c 3 − c 1 )z 2(b 3 − b 1 )
A 2 − 2(c 3 − c 2 )z 2(b 3 − b 2 )
2(a 3 − a 1 ) 2(b 3 − b 1 )
2(a 3 − a 2 ) 2(b 3 − b 2 )
,
y =
2(a 3 − a 1 ) A 1 − 2(c 3 − c 1 )z
2(a 3 − a 2 ) A 2 − 2(c 3 − c 2 )z
2(a 3 − a 1 ) 2(b 3 − b 1 )
2(a 3 − a 2 ) 2(b 3 − b 2 )
.
(1.6)
En rempla¸ cant x et y par ces valeurs dans la troisi` eme ´ equation de (1.4), on obtient une
´ equation quadratique en z dont on peut calculer les deux solutions z 1 et z 2 . En rempla¸ cant z successivement par z 1 et z 2 dans (1.6), on obtient les valeurs correspondantes
x 1 , x 2 et y 1 , y 2 . Un logiciel de manipulations symboliques peut facilement donner les
formules, mais ces formules sont trop grosses pour avoir quelque int´ erˆ et.
Un choix d’axes de coordonn´ ees Nulle part dans le calcul pr´ ec´ edent n’avons-nous
eu `
a choisir explicitement le syst` eme d’axes. Mais, pour faire le lien avec la position
exprim´ ee ` a l’aide de la longitude, la latitude et l’altitude, nous faisons le choix suivant :
• le centre des coordonn´ ees est le centre de la Terre ;
• l’axe z passe par les pˆ oles et est orient´ e vers le pˆ ole Nord ;
• les axes x et y sont dans le plan de l’´ equateur ;
• le demi-axe x positif (respectivement demi-axe y positif) pointe `
a la longitude 0
(respectivement 90 degr´ es ouest).
Le rayon de la Terre ´ etant R (R est environ 6365 km), une solution (x i , y i , z i ) est
acceptable si x
2
i + y
2
i + z
2
i ≈ (6365 ± 50)
2 . L’incertitude de 50 km permet de pallier
largement l’altitude en montagne ou pour un avion. Des coordonn´ ees naturelles sur la
Terre sont donn´ ees par la longitude L, la latitude l et la distance h au centre de la Terre
(l’altitude par rapport au niveau de la mer est alors h − R). La longitude et la latitude
sont des angles que l’on va mesurer en degr´ es. Si un point (x, y, z) est sur la sph` ere de
rayon R, c’est-` a-dire `
a l’altitude 0, alors sa longitude et sa latitude sont obtenues en
r´ esolvant le syst` eme d’´ equations