4
1 Positionnement
• Cette donn´ ee ne suffit pas ` a connaˆ ıtre pr´ ecis´ ement la position du r´ ecepteur. Le
r´ ecepteur capte donc le signal d’un deuxi` eme satellite P 2 , mesure son temps
de parcours t 2 et en d´ eduit la distance r 2 = ct 2 de P 2 au r´ ecepteur. Comme
pr´ ec´ edemment, on peut en d´ eduire que le r´ ecepteur se trouve sur la sph` ere S 2
centr´ ee en P 2 de rayon r 2 . En supposant que le deuxi` eme satellite est situ´ e au
point (a 2 , b 2 , c 2 ), alors (x, y, z) satisfait l’´ equation des points de la sph` ere de centre
(a 2 , b 2 , c 2 ) et de rayon r 2 ` a savoir
(x − a 2 )
2 + (y − b 2 )
2 + (z − c 2 )
2 = r
2
2 = c
2 t
2
2 .
(1.2)
On a progress´ e, car deux sph` eres s’intersectent sur un cercle : on connaˆ ıt maintenant un cercle C 1,2 sur lequel se trouve le r´ ecepteur, mais cela ne suffit pas `
a
connaˆ ıtre pr´ ecis´ ement la position du r´ ecepteur.
• Pour que le r´ ecepteur puisse calculer compl` etement sa position, il suffit qu’il capte
le signal d’un troisi` eme satellite P 3 et mesure son temps de parcours t 3 . Alors, le
r´ ecepteur est situ´ e sur la sph` ere S 3 centr´ ee en P 3 de rayon r 3 = ct 3 . Si (a 3 , b 3 , c 3 )
sont les coordonn´ ees de P 3 , alors (x, y, z) satisfait l’´ equation des points de la sph` ere
de centre (a 3 , b 3 , c 3 ) et de rayon r 3 ` a savoir
(x − a 3 )
2 + (y − b 3 )
2 + (z − c 3 )
2 = r
2
3 = c
2 t
2
3 .
(1.3)
Le r´ ecepteur est donc sur l’intersection du cercle C 1,2 et de la sph` ere S 3 . Un
cercle et une sph` ere s’intersectant en deux points, il semblerait qu’il nous manque
encore de l’information pour connaˆ ıtre exactement la position du r´ ecepteur. Fort
heureusement, il n’en est rien. En effet, la position des satellites est arrang´ ee pour
que l’une des deux solutions soit compl` etement irr´ ealiste parce que tr` es loin de la
surface de la Terre. En cherchant les deux solutions du syst` eme () d’´ equations
form´ e des ´ equations (1.1), (1.2), (1.3) et en ´ eliminant la solution irr´ ealiste, le
r´ ecepteur a d´ etermin´ e pr´ ecis´ ement sa position.
La solution du syst` eme () Les ´ equations du syst` eme () sont quadratiques (non
lin´ eaires), ce qui complique la solution. On peut cependant remarquer que, si on soustrait
` a une des ´ equations de () une deuxi` eme ´ equation de (), on obtient une ´ equation
lin´ eaire, car les termes en x
2 , y
2 et z
2 s’annulent. On remplace donc le syst` eme ()
par un syst` eme ´ equivalent obtenu en gardant la troisi` eme ´ equation et en rempla¸ cant la
premi` ere ´ equation par (1.1)−(1.3) et la seconde par (1.2)−(1.3). On obtient le syst` eme
2(a 3 − a 1 )x + 2(b 3 − b 1 )y + 2(c 3 − c 1 )z = A 1 ,
2(a 3 − a 2 )x + 2(b 3 − b 2 )y + 2(c 3 − c 2 )z = A 2 ,
(x − a 3 )
2 + (y − b 3 )
2 + (z − c 3 )
2 = r
2
3
= c
2 t
2
3 ,
(1.4)
o` u
A 1 = c
2 (t
2
1 − t
2
3 ) + (a
2
3 − a
2
1 ) + (b
2
3 − b
2
1 ) + (c
2
3 − c
2
1 ),
A 2 = c
2 (t
2
2 − t
2
3 ) + (a
2
3 − a
2
2 ) + (b
2
3 − b
2
2 ) + (c
2
3 − c
2
2 ).
(1.5)
1 Positionnement
• Cette donn´ ee ne suffit pas ` a connaˆ ıtre pr´ ecis´ ement la position du r´ ecepteur. Le
r´ ecepteur capte donc le signal d’un deuxi` eme satellite P 2 , mesure son temps
de parcours t 2 et en d´ eduit la distance r 2 = ct 2 de P 2 au r´ ecepteur. Comme
pr´ ec´ edemment, on peut en d´ eduire que le r´ ecepteur se trouve sur la sph` ere S 2
centr´ ee en P 2 de rayon r 2 . En supposant que le deuxi` eme satellite est situ´ e au
point (a 2 , b 2 , c 2 ), alors (x, y, z) satisfait l’´ equation des points de la sph` ere de centre
(a 2 , b 2 , c 2 ) et de rayon r 2 ` a savoir
(x − a 2 )
2 + (y − b 2 )
2 + (z − c 2 )
2 = r
2
2 = c
2 t
2
2 .
(1.2)
On a progress´ e, car deux sph` eres s’intersectent sur un cercle : on connaˆ ıt maintenant un cercle C 1,2 sur lequel se trouve le r´ ecepteur, mais cela ne suffit pas `
a
connaˆ ıtre pr´ ecis´ ement la position du r´ ecepteur.
• Pour que le r´ ecepteur puisse calculer compl` etement sa position, il suffit qu’il capte
le signal d’un troisi` eme satellite P 3 et mesure son temps de parcours t 3 . Alors, le
r´ ecepteur est situ´ e sur la sph` ere S 3 centr´ ee en P 3 de rayon r 3 = ct 3 . Si (a 3 , b 3 , c 3 )
sont les coordonn´ ees de P 3 , alors (x, y, z) satisfait l’´ equation des points de la sph` ere
de centre (a 3 , b 3 , c 3 ) et de rayon r 3 ` a savoir
(x − a 3 )
2 + (y − b 3 )
2 + (z − c 3 )
2 = r
2
3 = c
2 t
2
3 .
(1.3)
Le r´ ecepteur est donc sur l’intersection du cercle C 1,2 et de la sph` ere S 3 . Un
cercle et une sph` ere s’intersectant en deux points, il semblerait qu’il nous manque
encore de l’information pour connaˆ ıtre exactement la position du r´ ecepteur. Fort
heureusement, il n’en est rien. En effet, la position des satellites est arrang´ ee pour
que l’une des deux solutions soit compl` etement irr´ ealiste parce que tr` es loin de la
surface de la Terre. En cherchant les deux solutions du syst` eme () d’´ equations
form´ e des ´ equations (1.1), (1.2), (1.3) et en ´ eliminant la solution irr´ ealiste, le
r´ ecepteur a d´ etermin´ e pr´ ecis´ ement sa position.
La solution du syst` eme () Les ´ equations du syst` eme () sont quadratiques (non
lin´ eaires), ce qui complique la solution. On peut cependant remarquer que, si on soustrait
` a une des ´ equations de () une deuxi` eme ´ equation de (), on obtient une ´ equation
lin´ eaire, car les termes en x
2 , y
2 et z
2 s’annulent. On remplace donc le syst` eme ()
par un syst` eme ´ equivalent obtenu en gardant la troisi` eme ´ equation et en rempla¸ cant la
premi` ere ´ equation par (1.1)−(1.3) et la seconde par (1.2)−(1.3). On obtient le syst` eme
2(a 3 − a 1 )x + 2(b 3 − b 1 )y + 2(c 3 − c 1 )z = A 1 ,
2(a 3 − a 2 )x + 2(b 3 − b 2 )y + 2(c 3 − c 2 )z = A 2 ,
(x − a 3 )
2 + (y − b 3 )
2 + (z − c 3 )
2 = r
2
3
= c
2 t
2
3 ,
(1.4)
o` u
A 1 = c
2 (t
2
1 − t
2
3 ) + (a
2
3 − a
2
1 ) + (b
2
3 − b
2
1 ) + (c
2
3 − c
2
1 ),
A 2 = c
2 (t
2
2 − t
2
3 ) + (a
2
3 − a
2
2 ) + (b
2
3 − b
2
2 ) + (c
2
3 − c
2
2 ).
(1.5)