1.2 Le GPS (Global Positioning System)
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almanach, lequel contient la position pr´ evue des satellites ` a chaque instant. Cependant,
comme des petites erreurs sur l’orbite sont in´ evitables, les corrections `
a apporter `
a la
position du satellite sont cod´ ees dans le signal du satellite (la mise `
a jour de la position
des satellites est faite toutes les heures). Chaque satellite ´ emet son signal continˆ ument.
La p´ eriode du signal est fixe, et les instants de d´ ebut du cycle du signal sont inscrits
dans l’almanach. Les satellites sont ´ equip´ es d’horloges atomiques extrˆ emement pr´ ecises
permettant que le signal soit parfaitement en phase avec ce qui est annonc´ e dans l’almanach. Lorsque le r´ ecepteur capte le signal d’un satellite, il se met lui-mˆ eme ` a g´ en´ erer
les signaux des diff´ erents satellites et il les compare avec les signaux re¸ cus. En g´ en´ eral,
les signaux ne concordent pas. Il translate alors les signaux qu’il g´ en` ere jusqu’` a ce qu’un
des signaux qu’il g´ en` ere soit en accord parfait avec le signal re¸ cu (il mesure ceci en calculant la corr´ elation entre les deux signaux). Il peut alors calculer le temps de parcours
du signal depuis le satellite. On discutera ceci en d´ etail dans la section 1.4.
On d´ ecrira ci-dessous le fonctionnement d’un GPS commun. Son algorithme de calcul
lui permet de d´ eterminer la position du r´ ecepteur ` a 20 m` etres pr` es. La pr´ ecision de la
mesure a ´ et´ e brouill´ ee jusqu’en mai 2000 par d´ epartement de la D´ efense des ´
Etats-Unis,
si bien qu’on obtenait seulement une pr´ ecision de 100 m` etres au lieu des 20 m` etres
possibles par le syst` eme de mesure d´ ecrit ci-dessous.
1.2.2 La th´ eorie du GPS
Comment le r´ ecepteur calcule-t-il sa position ? Nous ferons tout d’abord l’hypoth` ese que les horloges de tous les satellites et du r´ ecepteur sont parfaitement synchronis´ ees. Le r´ ecepteur calcule sa position par triangulation. Le principe de base de
toute m´ ethode de triangulation est que, pour calculer la position d’un objet ou d’une
personne, on d´ ecrit des caract´ eristiques de sa position (une distance, un angle, etc.) par
rapport `
a des objets dont la position est connue. Dans le cas d’un r´ ecepteur GPS, les
objets dont la position est connue sont les satellites. Voyons le d´ etail :
• Le r´ ecepteur mesure le temps t 1 mis par le signal ´ emis par un premier satellite
P 1 pour parcourir la distance qui le s´ epare du satellite. ´
Etant donn´ e que le signal
voyage `
a la vitesse de la lumi` ere c, le r´ ecepteur calcule la distance
r 1 = ct 1
entre le r´ ecepteur et le satellite P 1 . L’ensemble des points de l’espace situ´ es ` a la
distance r 1 du satellite P 1 est la sph` ere S 1 centr´ ee en P 1 de rayon r 1 . On sait
donc que le r´ ecepteur est situ´ e sur la sph` ere S 1 . Prenons un syst` eme cart´ esien de
coordonn´ ees. Soient (x, y, z) la position (inconnue) du r´ ecepteur et (a 1 , b 1 , c 1 ) la
position (connue) du satellite P 1 . Alors (x, y, z) satisfait l’´ equation des points de
la sph` ere de centre (a 1 , b 1 , c 1 ) et de rayon r 1 ` a savoir
(x − a 1 )
2 + (y − b 1 )
2 + (z − c 1 )
2 = r
2
1 = c
2 t
2
1 .
(1.1)
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almanach, lequel contient la position pr´ evue des satellites ` a chaque instant. Cependant,
comme des petites erreurs sur l’orbite sont in´ evitables, les corrections `
a apporter `
a la
position du satellite sont cod´ ees dans le signal du satellite (la mise `
a jour de la position
des satellites est faite toutes les heures). Chaque satellite ´ emet son signal continˆ ument.
La p´ eriode du signal est fixe, et les instants de d´ ebut du cycle du signal sont inscrits
dans l’almanach. Les satellites sont ´ equip´ es d’horloges atomiques extrˆ emement pr´ ecises
permettant que le signal soit parfaitement en phase avec ce qui est annonc´ e dans l’almanach. Lorsque le r´ ecepteur capte le signal d’un satellite, il se met lui-mˆ eme ` a g´ en´ erer
les signaux des diff´ erents satellites et il les compare avec les signaux re¸ cus. En g´ en´ eral,
les signaux ne concordent pas. Il translate alors les signaux qu’il g´ en` ere jusqu’` a ce qu’un
des signaux qu’il g´ en` ere soit en accord parfait avec le signal re¸ cu (il mesure ceci en calculant la corr´ elation entre les deux signaux). Il peut alors calculer le temps de parcours
du signal depuis le satellite. On discutera ceci en d´ etail dans la section 1.4.
On d´ ecrira ci-dessous le fonctionnement d’un GPS commun. Son algorithme de calcul
lui permet de d´ eterminer la position du r´ ecepteur ` a 20 m` etres pr` es. La pr´ ecision de la
mesure a ´ et´ e brouill´ ee jusqu’en mai 2000 par d´ epartement de la D´ efense des ´
Etats-Unis,
si bien qu’on obtenait seulement une pr´ ecision de 100 m` etres au lieu des 20 m` etres
possibles par le syst` eme de mesure d´ ecrit ci-dessous.
1.2.2 La th´ eorie du GPS
Comment le r´ ecepteur calcule-t-il sa position ? Nous ferons tout d’abord l’hypoth` ese que les horloges de tous les satellites et du r´ ecepteur sont parfaitement synchronis´ ees. Le r´ ecepteur calcule sa position par triangulation. Le principe de base de
toute m´ ethode de triangulation est que, pour calculer la position d’un objet ou d’une
personne, on d´ ecrit des caract´ eristiques de sa position (une distance, un angle, etc.) par
rapport `
a des objets dont la position est connue. Dans le cas d’un r´ ecepteur GPS, les
objets dont la position est connue sont les satellites. Voyons le d´ etail :
• Le r´ ecepteur mesure le temps t 1 mis par le signal ´ emis par un premier satellite
P 1 pour parcourir la distance qui le s´ epare du satellite. ´
Etant donn´ e que le signal
voyage `
a la vitesse de la lumi` ere c, le r´ ecepteur calcule la distance
r 1 = ct 1
entre le r´ ecepteur et le satellite P 1 . L’ensemble des points de l’espace situ´ es ` a la
distance r 1 du satellite P 1 est la sph` ere S 1 centr´ ee en P 1 de rayon r 1 . On sait
donc que le r´ ecepteur est situ´ e sur la sph` ere S 1 . Prenons un syst` eme cart´ esien de
coordonn´ ees. Soient (x, y, z) la position (inconnue) du r´ ecepteur et (a 1 , b 1 , c 1 ) la
position (connue) du satellite P 1 . Alors (x, y, z) satisfait l’´ equation des points de
la sph` ere de centre (a 1 , b 1 , c 1 ) et de rayon r 1 ` a savoir
(x − a 1 )
2 + (y − b 1 )
2 + (z − c 1 )
2 = r
2
1 = c
2 t
2
1 .
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