196
6 Codes correcteurs
(x + 1)
2 = q
7
× q
7 = q
14 = q
6 = x + 2,
x(x + 2) = q × q
6 = q
7 = x + 1.
Cette deuxi` eme m´ ethode nous permet ´ egalement de v´ erifier nos calculs. Nous redonnons
donc la table de multiplication ci-dessus en renommant les polynˆ omes par leur puissance
de q.
× 0 1 q
4
q
1
q
7
q
6
q
5
q
2
q
3
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
1 0 1 q
4
q q
7
q
6
q
5
q
2
q
3
q
4
0 q
4
1 q
5
q
3
q
2
q q
6
q
7
q
1
0 q q
5
q
2
1 q
7
q
6
q
3
q
4
q
7
0 q
7
q
3
1 q
6
q
5
q
4
q q
2
q
6
0 q
6
q
2
q
7
q
5
q
4
q
3
1
q
q
5
0 q
5
q q
6
q
4
q
3
q
2
q
7
1
q
2
0 q
2
q
6
q
3
q
1 q
7
q
4
q
5
q
3
0 q
3
q
7
q
4
q
2
q
1 q
5
q
6
(6.9)
Avec ces nouveaux noms, il est peut-ˆ etre naturel de r´ eordonner les lignes et les colonnes
de fa¸ con ` a ce que les exposants de q croissent. Revoici donc une troisi` eme fois la table
de multiplication de F 9 !
× 0 q
1
q
2
q
3
q
4
q
5
q
6
q
7
1
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
q
1
0 q
2
q
3
q
4
q
5
q
6
q
7
1
q
q
2
0 q
3
q
4
q
5
q
6
q
7
1
q q
2
q
3
0 q
4
q
5
q
6
q
7
1
q q
2
q
3
q
4
0 q
5
q
6
q
7
1
q q
2
q
3
q
4
q
5
0 q
6
q
7
1
q q
2
q
3
q
4
q
5
q
6
0 q
7
1
q q
2
q
3
q
4
q
5
q
6
q
7
0 1
q q
2
q
3
q
4
q
5
q
6
q
7
1 0 q q
2
q
3
q
4
q
5
q
6
q
7
1
(6.10)
La table d’addition peut ´ egalement ˆ etre obtenue facilement. Voici deux exemples de
calcul :
q
2 + q
4 = (2x + 1) + (2) = 2x + (2 + 1) = 2x = q
5 ,
q
3 + q
6 = (2x + 2) + (x + 2) = (2 + 1)x + (2 + 2) = 1 = q
8 .
Voici la table d’addition compl` ete de F 9 . (Exercice : v´ erifier quelques ´ el´ ements de cette
table d’addition.)