6.5 Corps finis
195
Commen¸ cons par trouver le nombre d’´ el´ ements du corps Z 3 [x]/(p(x)). Puisque tous
les ´ el´ ements de ce corps sont des polynˆ omes de degr´ e inf´ erieur au degr´ e de p(x), ils sont
tous de la forme a 1 x + a 0 . Puisque a 0 , a 1 ∈ Z 3 et que chacun peut prendre trois valeurs,
il y aura donc 3
2 = 9 ´ el´ ements distincts dans Z 3 [x]/(p(x)).
Cherchons maintenant la table de multiplication. Deux exemples montrent comment
faire :
(x + 1)
2 = x
2 + 2x + 1 = (x
2 + 2x + 1) − (x
2 + x + 2) = x − 1 = x + 2
x(x + 2) = x
2 + 2x = x
2 + 2x − (x
2 + x + 2) = x − 2 = x + 1.
La table de multiplication compl` ete est
×
0
1
2
x
x+ 1
x + 2
2x
2x + 1 2x + 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
x
x+ 1
x + 2
2x
2x + 1 2x + 2
2
0
2
1
2x
2x + 2 2x + 1
x
x+ 2
x + 1
x
0
x
2x
2x + 1
1
x + 1
x + 2 2x + 2
2
x + 1 0 x + 1 2x + 2
1
x + 2
2x
2
x
2x + 1
x + 2 0 x + 2 2x + 1 x + 1
2x
2
2x + 2
1
x
2x
0
2x
x
x + 2
2
2x + 2 2x + 1 x + 1
1
2x + 1 0 2x + 1 x + 2 2x + 2
x
1
x + 1
2
2x
2x + 2 0 2x + 2 x + 1
2
2x + 1
x
1
2 x
x+ 2
(6.8)
Mais cette m´ ethode est fastidieuse. Y a-t-il une mani` ere de simplifier les calculs ?
´
Enum´ erons plutˆ ot les puissances du polynˆ ome q(x) = x. `
A nouveau, toutes les ´ egalit´ es
sont modulo p(x). On a
q = x,
q
2 = x
2 = x
2
− (x
2 + x + 2) = −x − 2 = 2x + 1,
q
3 = q × q
2 = 2x
2 + x = 2x
2 + x − 2(x
2 + x + 2) = 2x + 2,
q
4 = q × q
3 = 2x
2 + 2x = 2x
2 + 2x − 2(x
2 + x + 2) = 2,
q
5 = q × q
4 = 2x,
q
6 = q × q
5 = 2x
2 = 2x
2
− 2(x
2 + x + 2) = x + 2,
q
7 = q × q
6 = x
2 + 2x = x
2 + 2x − (x
2 + x + 2) = x + 1,
q
8 = q × q
7 = x
2 + x = x
2 + x − (x
2 + x + 2) = 1.
En prenant les puissances du polynˆ ome q(x) = x, on obtient donc les huit polynˆ omes non
nuls de Z 3 [x]/(p(x)). La multiplication des ´ el´ ements {0, q, q
2 , q
3 , q
4 , q
5 , q
6 , q
7 , q
8 = 1}
est ais´ ee puisque q
i
× q
j = q
k o` u k = i + j (mod 8) car q
8 = 1. Ceci nous donne une
mani` ere simple de calculer la table de multiplication. On transforme tout polynˆ ome en
une puissance de q. Alors, la multiplication de deux ´ el´ ements se r´ eduit `
a l’addition des
exposants modulo 8. Nous pouvons refaire ais´ ement les deux exemples ci-dessus