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6 Codes correcteurs
Exemple 6.11 Le polynˆ ome x
2 + x − 1 peut ˆ etre factoris´ e sur R. En effet, soient
x 1 =
1
2 (
√
5 − 1) et x 2 = −
1
2 (
√
5 + 1),
les racines de ce polynˆ ome. Ces deux nombres appartiennent `
a R et
x
2 + x − 1 = (x − x 1 )(x − x 2 ).
Ainsi, x
2 + x − 1 ∈ R[x] n’est pas irr´ eductible sur R. Ce mˆ eme polynˆ ome est cependant
irr´ eductible sur Q[x], car ni x 1 ni x 2 n’appartiennent ` a Q et x
2 + x − 1 ne peut ˆ etre
factoris´ e sur Q.
Exemple 6.12 Le polynˆ ome x
2 +1 est irr´ eductible sur R, mais sur F 2 , il peut ˆ etre ´ ecrit
comme x
2 + 1 = (x + 1) × (x + 1), et il n’est donc pas irr´ eductible sur F 2 .
On d´ enotera par F[x]/(p(x)) l’ensemble des polynˆ omes ` a coefficients dans F muni
des op´ erations + et × modulo p(x). Voici le r´ esultat central dont nous aurons besoin.
Proposition 6.13 (i) Soit p(x) un polynˆ ome de degr´ e n. Le quotient F[x]/p(x) peut
ˆ etre identifi´ e `
a {q(x) ∈ F[x] | degr´ e q < n} muni de l’addition et de la multiplication
modulo p(x).
(ii) F[x]/(p(x)) est un corps si et seulement si p(x) est irr´ eductible sur F.
Nous ne d´ emontrerons pas ce r´ esultat, mais nous l’utiliserons pour donner un exemple
de construction explicite d’un corps fini qui ne soit pas un des corps Z p avec p premier.
Exemple 6.14 Construction de F 9 , le corps ` a neuf ´ el´ ements. Soit Z 3 le corps
` a trois ´ el´ ements dont les tables ont ´ et´ e donn´ ees ci-dessus. Soit Z 3 [x] l’ensemble des
polynˆ omes ` a coefficients dans Z 3 et soit p(x) = x
2 + x + 2.
Convainquons-nous d’abord que p(x) est irr´ eductible. S’il ne l’est pas, alors il existe
deux polynˆ omes non constants q 1 et q 2 dont le produit est p. Ces deux polynˆ omes doivent
ˆ etre de degr´ e 1. Ainsi,
p(x) = (x + a)(bx + c)
(6.7)
pour certains a, b, c ∈ Z 3 . Si tel est le cas, p(x) s’annulera pour l’inverse additif du
nombre a ∈ Z 3 . Mais
p(0) = 0
2 + 0 + 2 = 2,
p(1) = 1
2 + 1 + 2 = 1,
p(2) = 2
2 + 2 + 2 = 1 + 2 + 2 = 2;
donc p(x) ne s’annule pour aucun des trois ´ el´ ements de Z 3 . (Attention : les calculs
sont faits dans Z 3 !) Ainsi, p(x) ne peut ˆ etre mis sous la forme (6.7), et p(x) est donc
irr´ eductible.
6 Codes correcteurs
Exemple 6.11 Le polynˆ ome x
2 + x − 1 peut ˆ etre factoris´ e sur R. En effet, soient
x 1 =
1
2 (
√
5 − 1) et x 2 = −
1
2 (
√
5 + 1),
les racines de ce polynˆ ome. Ces deux nombres appartiennent `
a R et
x
2 + x − 1 = (x − x 1 )(x − x 2 ).
Ainsi, x
2 + x − 1 ∈ R[x] n’est pas irr´ eductible sur R. Ce mˆ eme polynˆ ome est cependant
irr´ eductible sur Q[x], car ni x 1 ni x 2 n’appartiennent ` a Q et x
2 + x − 1 ne peut ˆ etre
factoris´ e sur Q.
Exemple 6.12 Le polynˆ ome x
2 +1 est irr´ eductible sur R, mais sur F 2 , il peut ˆ etre ´ ecrit
comme x
2 + 1 = (x + 1) × (x + 1), et il n’est donc pas irr´ eductible sur F 2 .
On d´ enotera par F[x]/(p(x)) l’ensemble des polynˆ omes ` a coefficients dans F muni
des op´ erations + et × modulo p(x). Voici le r´ esultat central dont nous aurons besoin.
Proposition 6.13 (i) Soit p(x) un polynˆ ome de degr´ e n. Le quotient F[x]/p(x) peut
ˆ etre identifi´ e `
a {q(x) ∈ F[x] | degr´ e q < n} muni de l’addition et de la multiplication
modulo p(x).
(ii) F[x]/(p(x)) est un corps si et seulement si p(x) est irr´ eductible sur F.
Nous ne d´ emontrerons pas ce r´ esultat, mais nous l’utiliserons pour donner un exemple
de construction explicite d’un corps fini qui ne soit pas un des corps Z p avec p premier.
Exemple 6.14 Construction de F 9 , le corps ` a neuf ´ el´ ements. Soit Z 3 le corps
` a trois ´ el´ ements dont les tables ont ´ et´ e donn´ ees ci-dessus. Soit Z 3 [x] l’ensemble des
polynˆ omes ` a coefficients dans Z 3 et soit p(x) = x
2 + x + 2.
Convainquons-nous d’abord que p(x) est irr´ eductible. S’il ne l’est pas, alors il existe
deux polynˆ omes non constants q 1 et q 2 dont le produit est p. Ces deux polynˆ omes doivent
ˆ etre de degr´ e 1. Ainsi,
p(x) = (x + a)(bx + c)
(6.7)
pour certains a, b, c ∈ Z 3 . Si tel est le cas, p(x) s’annulera pour l’inverse additif du
nombre a ∈ Z 3 . Mais
p(0) = 0
2 + 0 + 2 = 2,
p(1) = 1
2 + 1 + 2 = 1,
p(2) = 2
2 + 2 + 2 = 1 + 2 + 2 = 2;
donc p(x) ne s’annule pour aucun des trois ´ el´ ements de Z 3 . (Attention : les calculs
sont faits dans Z 3 !) Ainsi, p(x) ne peut ˆ etre mis sous la forme (6.7), et p(x) est donc
irr´ eductible.