6.5 Corps finis
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tel que a i ∈ F, 0 ≤ i ≤ n et a n = 0. On choisira, par la suite, un polynˆ ome o` u a n = 1.
Les op´ erations + et × modulo p(x) consistent ` a faire les op´ erations + et × polynomiales usuelles sur F[x], puis `
a utiliser de fa¸ con r´ ep´ etitive des multiples polynomiaux
de p(x) pour r´ eduire le r´ esultat `
a un polynˆ ome de degr´ e inf´ erieur ` a n. Cette phrase est
compliqu´ ee, mais deux exemples la clarifieront.
Exemple 6.9 Soit p(x) = x
2 + 1 ∈ Q[x] et soient (x + 1) et (x
2 + 2x), deux polynˆ omes
appartenant ´ egalement `
a Q[x], que nous d´ esirons multiplier modulo p(x). Les ´ egalit´ es
qui suivent sont donc des ´ egalit´ es entre des polynˆ omes diff´ erant par un multiple du
polynˆ ome p(x). Ce ne sont pas des ´ egalit´ es strictes comme l’indique le « (mod p(x)) »
` a la derni` ere ligne. Voici les ´ etapes :
(x + 1) × (x
2 + 2x) = x
3 + 2x
2 + x
2 + 2x
= x
3 + 3x
2 + 2x − x(x
2 + 1)
= x
3
− x
3 + 3x
2 + 2x − x
= 3x
2 + x
= 3x
2 + x − 3(x
2 + 1)
= 3x
2
− 3x
2 + x − 3
= x − 3 (mod p(x)).
Il est ais´ e de v´ erifier que le polynˆ ome (x − 3) est ´ egalement le reste de la division de
(x+1)× (x
2 +2x) par p(x). Ceci n’est pas une co¨ ıncidence ! C’est une propri´ et´ e g´ en´ erale
qui donne une autre m´ ethode pour calculer q(x) (mod p(x)). Voir l’exercice 14.
Exemple 6.10 Soit p(x) = x
2 + x + 1 ∈ F 2 [x]. Le carr´ e du polynˆ ome (x
2 + 1) modulo
p(x) est
(x
2 + 1) × (x
2 + 1) = x
4 + 1 = x
4 + 1 − x
2 (x
2 + x + 1) = x
3 + x
2 + 1
= x
3 + x
2 + 1 − x(x
2 + x + 1) = x + 1 (mod p(x)).
On peut engendrer tous les corps finis ` a partir des ensembles de polynˆ omes F[x] en
copiant la construction des Z p munis de + et × modulo p o` u, rappelons-le, p doit ˆ etre
premier. Pour F[x], les op´ erations + et × se feront modulo un polynˆ ome p(x). N’importe
quel polynˆ ome ? Non ! De mˆ eme que p doit ˆ etre un nombre premier dans le cas de Z p , de
mˆ eme le polynˆ ome p(x) devra satisfaire `
a une condition particuli` ere : ˆ etre irr´ eductible.
Un polynˆ ome non nul p(x) ∈ F[x] est irr´ eductible si, pour tous q 1 (x) et q 2 (x) ∈ F[x] tels
que
p(x) = q 1 (x)q 2 (x),
alors q 1 (x) ou q 2 (x) est un polynˆ ome constant. En d’autres mots, p(x) n’est pas le
produit de deux polynˆ omes ∈ F[x] de degr´ e inf´ erieur ` a celui de p(x).
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tel que a i ∈ F, 0 ≤ i ≤ n et a n = 0. On choisira, par la suite, un polynˆ ome o` u a n = 1.
Les op´ erations + et × modulo p(x) consistent ` a faire les op´ erations + et × polynomiales usuelles sur F[x], puis `
a utiliser de fa¸ con r´ ep´ etitive des multiples polynomiaux
de p(x) pour r´ eduire le r´ esultat `
a un polynˆ ome de degr´ e inf´ erieur ` a n. Cette phrase est
compliqu´ ee, mais deux exemples la clarifieront.
Exemple 6.9 Soit p(x) = x
2 + 1 ∈ Q[x] et soient (x + 1) et (x
2 + 2x), deux polynˆ omes
appartenant ´ egalement `
a Q[x], que nous d´ esirons multiplier modulo p(x). Les ´ egalit´ es
qui suivent sont donc des ´ egalit´ es entre des polynˆ omes diff´ erant par un multiple du
polynˆ ome p(x). Ce ne sont pas des ´ egalit´ es strictes comme l’indique le « (mod p(x)) »
` a la derni` ere ligne. Voici les ´ etapes :
(x + 1) × (x
2 + 2x) = x
3 + 2x
2 + x
2 + 2x
= x
3 + 3x
2 + 2x − x(x
2 + 1)
= x
3
− x
3 + 3x
2 + 2x − x
= 3x
2 + x
= 3x
2 + x − 3(x
2 + 1)
= 3x
2
− 3x
2 + x − 3
= x − 3 (mod p(x)).
Il est ais´ e de v´ erifier que le polynˆ ome (x − 3) est ´ egalement le reste de la division de
(x+1)× (x
2 +2x) par p(x). Ceci n’est pas une co¨ ıncidence ! C’est une propri´ et´ e g´ en´ erale
qui donne une autre m´ ethode pour calculer q(x) (mod p(x)). Voir l’exercice 14.
Exemple 6.10 Soit p(x) = x
2 + x + 1 ∈ F 2 [x]. Le carr´ e du polynˆ ome (x
2 + 1) modulo
p(x) est
(x
2 + 1) × (x
2 + 1) = x
4 + 1 = x
4 + 1 − x
2 (x
2 + x + 1) = x
3 + x
2 + 1
= x
3 + x
2 + 1 − x(x
2 + x + 1) = x + 1 (mod p(x)).
On peut engendrer tous les corps finis ` a partir des ensembles de polynˆ omes F[x] en
copiant la construction des Z p munis de + et × modulo p o` u, rappelons-le, p doit ˆ etre
premier. Pour F[x], les op´ erations + et × se feront modulo un polynˆ ome p(x). N’importe
quel polynˆ ome ? Non ! De mˆ eme que p doit ˆ etre un nombre premier dans le cas de Z p , de
mˆ eme le polynˆ ome p(x) devra satisfaire `
a une condition particuli` ere : ˆ etre irr´ eductible.
Un polynˆ ome non nul p(x) ∈ F[x] est irr´ eductible si, pour tous q 1 (x) et q 2 (x) ∈ F[x] tels
que
p(x) = q 1 (x)q 2 (x),
alors q 1 (x) ou q 2 (x) est un polynˆ ome constant. En d’autres mots, p(x) n’est pas le
produit de deux polynˆ omes ∈ F[x] de degr´ e inf´ erieur ` a celui de p(x).