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6 Codes correcteurs
(0 × a) + b = (0 × a + 0 × a) + b.
Le membre de gauche est nul (par d´ efinition de b) alors que celui de droite peut ˆ etre
r´ e´ ecrit
0 = 0 × a + ((0 × a) + b)
( P2)
= 0 × a + 0
= 0 × a
(P4)
` a cause du choix de b. Ainsi, 0 × a est nul quel que soit a ∈ F. Revenons maintenant `
a
la table de multiplication d’un corps F. Soient a et b ∈ F deux ´ el´ ements non nuls de F
tels que
a × b = 0.
En multipliant les deux membres de cette ´ equation par l’inverse multiplicatif b
de b qui
existe de par (P5), on a
a × (b × b
) = 0 × b
,
et, par la propri´ et´ e qui vient d’ˆ etre d´ emontr´ ee,
a × 1 = 0
ou, par (P4),
a = 0,
ce qui est une contradiction, car a est non nul. Donc, dans un corps F, le produit
d’´ el´ ements non nuls est non nul. Ainsi, (Z 6 , +, ×) n’est pas un corps. . . ` a cause des
z´ eros en caract` ere gras.
Si p n’est pas un nombre premier, il existe q 1 et q 2 non nuls et diff´ erents de 1 tels
que p = q 1 q 2 . Dans Z p , on aura q 1 × q 2 = p = 0 (mod p). Ainsi, si p n’est pas premier,
Z p muni de l’addition et de la multiplication modulo p ne peut ˆ etre un corps. Nous
allons utiliser cette observation (ainsi d´ emontr´ ee) pour introduire un r´ esultat que nous
ne prouverons pas.
On d´ enote par F[x] l’ensemble des polynˆ omes en une variable x ` a coefficients dans F.
Cet ensemble peut ˆ etre muni de l’addition et de la multiplication polynomiales usuelles.
Attention : F[x] n’est pas un corps. Par exemple, l’´ el´ ement non nul (x + 1) n’a pas
d’inverse multiplicatif.
Exemple 6.8 F 2 [x] est l’ensemble de tous les polynˆ omes ` a coefficients dans F 2 . Voici
un exemple de multiplication dans F 2 [x] :
(x + 1) × (x + 1) = x
2 + x + x + 1 = x
2 + (1 + 1)x + 1 = x
2 + 1 ∈ F 2 [x].
De la mˆ eme fa¸ con que nous avons appris ` a calculer « modulo p, » il est possible de
calculer « modulo un polynˆ ome p(x). » Soit p(x) ∈ F[x] un polynˆ ome de degr´ e n ≥ 1
p(x) = a n x
n + a n−1 x
n−1 + · · · + a 1 x + a 0 ,
6 Codes correcteurs
(0 × a) + b = (0 × a + 0 × a) + b.
Le membre de gauche est nul (par d´ efinition de b) alors que celui de droite peut ˆ etre
r´ e´ ecrit
0 = 0 × a + ((0 × a) + b)
( P2)
= 0 × a + 0
= 0 × a
(P4)
` a cause du choix de b. Ainsi, 0 × a est nul quel que soit a ∈ F. Revenons maintenant `
a
la table de multiplication d’un corps F. Soient a et b ∈ F deux ´ el´ ements non nuls de F
tels que
a × b = 0.
En multipliant les deux membres de cette ´ equation par l’inverse multiplicatif b
de b qui
existe de par (P5), on a
a × (b × b
) = 0 × b
,
et, par la propri´ et´ e qui vient d’ˆ etre d´ emontr´ ee,
a × 1 = 0
ou, par (P4),
a = 0,
ce qui est une contradiction, car a est non nul. Donc, dans un corps F, le produit
d’´ el´ ements non nuls est non nul. Ainsi, (Z 6 , +, ×) n’est pas un corps. . . ` a cause des
z´ eros en caract` ere gras.
Si p n’est pas un nombre premier, il existe q 1 et q 2 non nuls et diff´ erents de 1 tels
que p = q 1 q 2 . Dans Z p , on aura q 1 × q 2 = p = 0 (mod p). Ainsi, si p n’est pas premier,
Z p muni de l’addition et de la multiplication modulo p ne peut ˆ etre un corps. Nous
allons utiliser cette observation (ainsi d´ emontr´ ee) pour introduire un r´ esultat que nous
ne prouverons pas.
On d´ enote par F[x] l’ensemble des polynˆ omes en une variable x ` a coefficients dans F.
Cet ensemble peut ˆ etre muni de l’addition et de la multiplication polynomiales usuelles.
Attention : F[x] n’est pas un corps. Par exemple, l’´ el´ ement non nul (x + 1) n’a pas
d’inverse multiplicatif.
Exemple 6.8 F 2 [x] est l’ensemble de tous les polynˆ omes ` a coefficients dans F 2 . Voici
un exemple de multiplication dans F 2 [x] :
(x + 1) × (x + 1) = x
2 + x + x + 1 = x
2 + (1 + 1)x + 1 = x
2 + 1 ∈ F 2 [x].
De la mˆ eme fa¸ con que nous avons appris ` a calculer « modulo p, » il est possible de
calculer « modulo un polynˆ ome p(x). » Soit p(x) ∈ F[x] un polynˆ ome de degr´ e n ≥ 1
p(x) = a n x
n + a n−1 x
n−1 + · · · + a 1 x + a 0 ,