6.5 Corps finis
191
L’ensemble Z p ci-dessus m´ erite d’ˆ etre ´ etudi´ e de plus pr` es. Les tables d’addition et
de multiplication dans Z 3 sont
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
(6.4)
et celles de Z 5 sont
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
× 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
(6.5)
(Exercice : v´ erifier que ces tables repr´ esentent bien l’addition et la multiplication modulo 3 et 5 respectivement.) L’exemple introduisant le corps Z p stipule que p doit ˆ etre
un nombre premier. Qu’arrive-t-il si p ne l’est pas ? Voici les tables d’addition et de
multiplication modulo 6 d´ efinies sur l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5} :
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
× 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
(6.6)
Comment prouver que {0, 1, 2, 3, 4, 5} muni de ces tables ne forme pas un corps ? `
A
l’aide des z´ eros en caract` ere gras dans la table de multiplication ci-dessus ! En voici la
preuve.
Nous savons que 0 × a = 0 dans Q et dans R. Est-ce vrai pour tout ´ el´ ement non nul
a dans un corps quelconque F ? Oui ! La preuve qui suit est ´ el´ ementaire. (En la lisant,
noter que chaque ´ etape d´ ecoule directement d’une des propri´ et´ es du corps F.) Soit a un
´ el´ ement quelconque de F. Alors
0 × a = (0 + 0) × a
(P4)
= 0 × a + 0 × a
(P3).
Par (P5), tout ´ el´ ement de F poss` ede un inverse additif. Soit b l’inverse additif de (0 × a).
Ajoutons cet ´ el´ ement aux deux membres de l’´ equation ci-dessus :
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L’ensemble Z p ci-dessus m´ erite d’ˆ etre ´ etudi´ e de plus pr` es. Les tables d’addition et
de multiplication dans Z 3 sont
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
(6.4)
et celles de Z 5 sont
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
× 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
(6.5)
(Exercice : v´ erifier que ces tables repr´ esentent bien l’addition et la multiplication modulo 3 et 5 respectivement.) L’exemple introduisant le corps Z p stipule que p doit ˆ etre
un nombre premier. Qu’arrive-t-il si p ne l’est pas ? Voici les tables d’addition et de
multiplication modulo 6 d´ efinies sur l’ensemble {0, 1, 2, 3, 4, 5} :
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
× 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
(6.6)
Comment prouver que {0, 1, 2, 3, 4, 5} muni de ces tables ne forme pas un corps ? `
A
l’aide des z´ eros en caract` ere gras dans la table de multiplication ci-dessus ! En voici la
preuve.
Nous savons que 0 × a = 0 dans Q et dans R. Est-ce vrai pour tout ´ el´ ement non nul
a dans un corps quelconque F ? Oui ! La preuve qui suit est ´ el´ ementaire. (En la lisant,
noter que chaque ´ etape d´ ecoule directement d’une des propri´ et´ es du corps F.) Soit a un
´ el´ ement quelconque de F. Alors
0 × a = (0 + 0) × a
(P4)
= 0 × a + 0 × a
(P3).
Par (P5), tout ´ el´ ement de F poss` ede un inverse additif. Soit b l’inverse additif de (0 × a).
Ajoutons cet ´ el´ ement aux deux membres de l’´ equation ci-dessus :