6.5 Corps finis
197
+ 0 q
1
q
2
q
3
q
4
q
5
q
6
q
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1
0
0 q
1
q
2
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3
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1
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1 q
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0 q
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1 q
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0 q
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1
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1 q
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0
1 q
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0 q
1
1 q
5
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1 q
7
q
3
q
5
0 q
2
q
1
q
6
q
4
(6.11)
D´ efinition 6.15 Un ´ el´ ement non nul d’un corps tel que tous les autres ´ el´ ements non
nuls peuvent ˆ etre obtenus de celui-ci par exponentiation est appel´ e ´ el´ ement primitif ou
racine primitive.
Tous les ´ el´ ements ne sont pas primitifs. Par exemple, dans F 9 , l’´ el´ ement q
4 n’est
pas primitif ; les seuls ´ el´ ements distincts qu’il engendre sont q
4 et q
4
× q
4 = q
8 = 1. `
A
l’exercice 13, vous trouverez tous les ´ el´ ements (non nuls) primitifs de F 9 . Dans l’exemple
ci-dessus, le polynˆ ome q(x) = x est primitif puisqu’il nous a permis de construire les
huit polynˆ omes non nuls sous la forme q
i , i = 1, . . . , 8. Mais q(x) = x n’est pas primitif
pour tous les choix du corps de base F et du polynˆ ome irr´ eductible p(x). Nous en
donnons deux exemples, le premier ` a l’exercice 17 ci-dessous et le second ` a l’exercice 6
du chapitre 8. Nous r´ esumons cette analyse dans le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 6.16 Tout corps fini F p r poss` ede une racine primitive, c’est-` a-dire qu’il
existe un ´ el´ ement non nul α dont l’ensemble des puissances co¨ ıncide avec l’ensemble
des ´ el´ ements non nuls de F p r :
F p r \ {0} = {α, α
2 , . . . , α
p
r −1 = 1}.
Il est usuel de choisir la lettre α pour une racine primitive ; dans cette section, nous
avons utilis´ e la lettre q, d´ ecrivant le polynˆ ome q(x) = x, mais nous utiliserons α ` a la
prochaine section. (Les lecteurs qui connaissent la structure de groupe noteront qu’un
´ el´ ement primitif est en fait un g´ en´ erateur du groupe multiplicatif des ´ el´ ements non nuls
du corps. Ceci indique que ces ´ el´ ements forment un groupe cyclique. Nous n’utilisons
cependant pas ce fait dans le pr´ esent chapitre.)
Avant de terminer notre introduction aux corps finis, nous ´ enoncerons deux th´ eor` emes sans les prouver.
Th´ eor` eme 6.17 Le nombre d’´ el´ ements dans un corps fini est une puissance d’un
nombre premier.
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1 q
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4
(6.11)
D´ efinition 6.15 Un ´ el´ ement non nul d’un corps tel que tous les autres ´ el´ ements non
nuls peuvent ˆ etre obtenus de celui-ci par exponentiation est appel´ e ´ el´ ement primitif ou
racine primitive.
Tous les ´ el´ ements ne sont pas primitifs. Par exemple, dans F 9 , l’´ el´ ement q
4 n’est
pas primitif ; les seuls ´ el´ ements distincts qu’il engendre sont q
4 et q
4
× q
4 = q
8 = 1. `
A
l’exercice 13, vous trouverez tous les ´ el´ ements (non nuls) primitifs de F 9 . Dans l’exemple
ci-dessus, le polynˆ ome q(x) = x est primitif puisqu’il nous a permis de construire les
huit polynˆ omes non nuls sous la forme q
i , i = 1, . . . , 8. Mais q(x) = x n’est pas primitif
pour tous les choix du corps de base F et du polynˆ ome irr´ eductible p(x). Nous en
donnons deux exemples, le premier ` a l’exercice 17 ci-dessous et le second ` a l’exercice 6
du chapitre 8. Nous r´ esumons cette analyse dans le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 6.16 Tout corps fini F p r poss` ede une racine primitive, c’est-` a-dire qu’il
existe un ´ el´ ement non nul α dont l’ensemble des puissances co¨ ıncide avec l’ensemble
des ´ el´ ements non nuls de F p r :
F p r \ {0} = {α, α
2 , . . . , α
p
r −1 = 1}.
Il est usuel de choisir la lettre α pour une racine primitive ; dans cette section, nous
avons utilis´ e la lettre q, d´ ecrivant le polynˆ ome q(x) = x, mais nous utiliserons α ` a la
prochaine section. (Les lecteurs qui connaissent la structure de groupe noteront qu’un
´ el´ ement primitif est en fait un g´ en´ erateur du groupe multiplicatif des ´ el´ ements non nuls
du corps. Ceci indique que ces ´ el´ ements forment un groupe cyclique. Nous n’utilisons
cependant pas ce fait dans le pr´ esent chapitre.)
Avant de terminer notre introduction aux corps finis, nous ´ enoncerons deux th´ eor` emes sans les prouver.
Th´ eor` eme 6.17 Le nombre d’´ el´ ements dans un corps fini est une puissance d’un
nombre premier.