6.2 Le corps F2
181
de diff´ erence entre la fonction son et la fonction escalier. (Une paire de fonctions son
et escalier est repr´ esent´ ee ` a la figure 6.3.) Cette ´ etape r´ ealis´ ee, il suffit d’´ enum´ erer les
valeurs de la fonction escalier pour chacune des p´ eriodes Δ.
Fig. 6.2. La fonction « onde de densit´ e » pendant une courte fraction de seconde
Sur un disque compact, le son est hach´ e en 44 100 morceaux par seconde (l’´ equivalent
des pixels de l’image ci-dessus), et la valeur de la fonction escalier durant chacune de
ces Δ =
1
44 100 seconde est rep´ er´ ee sur une ´ echelle de 65 536 = 2
16 intensit´ es
3 . Si on
se rappelle que les disques compacts reproduisent le son en st´ er´ eo, chaque seconde de
musique demande 44 100 × 16 × 2 = 1 411 200 bits, et un disque d’environ 70 minutes
devra transmettre fid` element 1 411 200 × 60 × 70 = 5 927 040 000 bits = 740 880 000
octets, soit approximativement 740 Mo. La possibilit´ e de d´ etecter et de corriger les
erreurs semble attrayante.
Dans ce qui suit, deux codes classiques sont pr´ esent´ es, celui de Hamming et celui
de Reed et Solomon. Le premier a ´ et´ e retenu par France T´ el´ ecom pour la transmission
du signal du Minitel, un pr´ ecurseur d’Internet tel que nous le connaissons aujourd’hui.
Le code de Reed–Solomon conf` ere, aux disques compacts, leur grande robustesse. Le
Consultative Committee for Space Data System, cr´ e´ e en 1982 pour harmoniser les pratiques des diff´ erentes agences spatiales, recommande ´ egalement ce code pour la transmission de donn´ ees par satellite.
6.2 Le corps F 2
Pour comprendre le code de Hamming, nous devons connaˆ ıtre les r` egles de calcul
applicables au corps ` a deux ´ el´ ements F 2 . Un corps est un ensemble de nombres sur lequel
sont d´ efinies deux op´ erations appel´ ees « addition » et « multiplication », op´ erations qui
doivent satisfaire aux propri´ et´ es qui nous sont famili` eres pour les nombres rationnels
3 Sony et Philips sont les deux compagnies qui ont ´ etabli conjointement le standard du
disque compact. Apr` es avoir h´ esit´ e entre une ´ echelle fragment´ ee en 2
14 ou en 2
16 niveaux, les
ing´ enieurs des deux compagnies ont opt´ e pour l’´ echelle la plus fine, celle de 2
16 niveaux [1].
Voir aussi le chapitre 10.
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de diff´ erence entre la fonction son et la fonction escalier. (Une paire de fonctions son
et escalier est repr´ esent´ ee ` a la figure 6.3.) Cette ´ etape r´ ealis´ ee, il suffit d’´ enum´ erer les
valeurs de la fonction escalier pour chacune des p´ eriodes Δ.
Fig. 6.2. La fonction « onde de densit´ e » pendant une courte fraction de seconde
Sur un disque compact, le son est hach´ e en 44 100 morceaux par seconde (l’´ equivalent
des pixels de l’image ci-dessus), et la valeur de la fonction escalier durant chacune de
ces Δ =
1
44 100 seconde est rep´ er´ ee sur une ´ echelle de 65 536 = 2
16 intensit´ es
3 . Si on
se rappelle que les disques compacts reproduisent le son en st´ er´ eo, chaque seconde de
musique demande 44 100 × 16 × 2 = 1 411 200 bits, et un disque d’environ 70 minutes
devra transmettre fid` element 1 411 200 × 60 × 70 = 5 927 040 000 bits = 740 880 000
octets, soit approximativement 740 Mo. La possibilit´ e de d´ etecter et de corriger les
erreurs semble attrayante.
Dans ce qui suit, deux codes classiques sont pr´ esent´ es, celui de Hamming et celui
de Reed et Solomon. Le premier a ´ et´ e retenu par France T´ el´ ecom pour la transmission
du signal du Minitel, un pr´ ecurseur d’Internet tel que nous le connaissons aujourd’hui.
Le code de Reed–Solomon conf` ere, aux disques compacts, leur grande robustesse. Le
Consultative Committee for Space Data System, cr´ e´ e en 1982 pour harmoniser les pratiques des diff´ erentes agences spatiales, recommande ´ egalement ce code pour la transmission de donn´ ees par satellite.
6.2 Le corps F 2
Pour comprendre le code de Hamming, nous devons connaˆ ıtre les r` egles de calcul
applicables au corps ` a deux ´ el´ ements F 2 . Un corps est un ensemble de nombres sur lequel
sont d´ efinies deux op´ erations appel´ ees « addition » et « multiplication », op´ erations qui
doivent satisfaire aux propri´ et´ es qui nous sont famili` eres pour les nombres rationnels
3 Sony et Philips sont les deux compagnies qui ont ´ etabli conjointement le standard du
disque compact. Apr` es avoir h´ esit´ e entre une ´ echelle fragment´ ee en 2
14 ou en 2
16 niveaux, les
ing´ enieurs des deux compagnies ont opt´ e pour l’´ echelle la plus fine, celle de 2
16 niveaux [1].
Voir aussi le chapitre 10.