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6 Codes correcteurs
Fig. 6.3. La fonction « son » et une fonction « escalier » qui l’approche
et r´ eels : associativit´ e, commutativit´ e, distributivit´ e de la multiplication sur l’addition,
existence de neutres pour l’addition et la multiplication, existence d’un inverse additif, existence d’un inverse multiplicatif pour tout ´ el´ ement non nul. Le lecteur connaˆ ıt
sˆ urement l’ensemble des rationnels Q, celui des r´ eels R et probablement celui des complexes C. Ces trois ensembles, munis des op´ erations + et × usuelles, sont des corps.
Mais il existe beaucoup d’autres corps que ceux-ci !
Nous examinerons la structure math´ ematique d’un corps en plus de d´ etails `
a la
section 6.5 ; il nous suffira, pour le pr´ esent exemple, de donner les r` egles de l’addition
+ et de la multiplication × qui sont d´ efinies sur cet ensemble de deux ´ el´ ements {0, 1}.
Les tables d’addition et de multiplication se lisent comme suit
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
(6.1)
Ces op´ erations r´ epondent aux r` egles que l’on connaˆ ıt pour les nombres rationnels Q, les
r´ eels R et les complexes C : associativit´ e, commutativit´ e et distributivit´ e, existence des
neutres et des inverses. Par exemple, en utilisant les tables d’addition et de multiplication
ci-dessus, on v´ erifie que, pour tout x, y, z ∈ F 2 , la distributivit´ e
x × (y + z) = x × y + x × z
est v´ erifi´ ee. Puisque x, y et z prennent chacun deux valeurs, la distributivit´ e repr´ esente
huit relations correspondant aux huit valeurs possibles du triplet (x, y, z) ∈ {(0, 0, 0),
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}. Voici la v´ erification explicite de la distributivit´ e pour le triplet (x, y, z) = (1, 0, 1) :
x × (y + z) = 1 × (0 + 1) = 1 × 1 = 1
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Fig. 6.3. La fonction « son » et une fonction « escalier » qui l’approche
et r´ eels : associativit´ e, commutativit´ e, distributivit´ e de la multiplication sur l’addition,
existence de neutres pour l’addition et la multiplication, existence d’un inverse additif, existence d’un inverse multiplicatif pour tout ´ el´ ement non nul. Le lecteur connaˆ ıt
sˆ urement l’ensemble des rationnels Q, celui des r´ eels R et probablement celui des complexes C. Ces trois ensembles, munis des op´ erations + et × usuelles, sont des corps.
Mais il existe beaucoup d’autres corps que ceux-ci !
Nous examinerons la structure math´ ematique d’un corps en plus de d´ etails `
a la
section 6.5 ; il nous suffira, pour le pr´ esent exemple, de donner les r` egles de l’addition
+ et de la multiplication × qui sont d´ efinies sur cet ensemble de deux ´ el´ ements {0, 1}.
Les tables d’addition et de multiplication se lisent comme suit
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
(6.1)
Ces op´ erations r´ epondent aux r` egles que l’on connaˆ ıt pour les nombres rationnels Q, les
r´ eels R et les complexes C : associativit´ e, commutativit´ e et distributivit´ e, existence des
neutres et des inverses. Par exemple, en utilisant les tables d’addition et de multiplication
ci-dessus, on v´ erifie que, pour tout x, y, z ∈ F 2 , la distributivit´ e
x × (y + z) = x × y + x × z
est v´ erifi´ ee. Puisque x, y et z prennent chacun deux valeurs, la distributivit´ e repr´ esente
huit relations correspondant aux huit valeurs possibles du triplet (x, y, z) ∈ {(0, 0, 0),
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}. Voici la v´ erification explicite de la distributivit´ e pour le triplet (x, y, z) = (1, 0, 1) :
x × (y + z) = 1 × (0 + 1) = 1 × 1 = 1