5.5 Exercices
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5.5 Exercices
Note : les int´ erˆ ets sont compos´ es annuellement ` a moins d’indication contraire.
1. Prouver la formule (5.2). (Suggestion : par induction ´ evidemment !)
2. a) La formule (5.4) est-elle lin´ eaire en Δ ? En d’autres mots, si le d´ epˆ ot annuel
Δ est multipli´ e par x, est-ce que le solde du placement au i-i` eme anniversaire sera
´ egalement multipli´ e par x ? (L’homme de la rue et les banquiers parleront de « r` egle
de trois » plutˆ ot que de « lin´ earit´ e ».)
b) La mˆ eme formule est-elle lin´ eaire en r ?
c) Si l’´ epargnante verse plutˆ ot
Δ
2 tous les six mois, est-ce qu’elle retirera la mˆ eme
somme apr` es N ann´ ees ?
3. La plupart des compagnies de cartes de cr´ edit affichent des pourcentages annuels
mˆ eme si elles composent les int´ erˆ ets mensuellement. Si le taux effectif annuel d’une
compagnie est de 18 %, quel pourcentage mensuel celle-ci doit-elle utiliser ? Avant
de commencer l’exercice : ce pourcentage mensuel sera-t-il plus petit ou plus grand
que
18
12 % = 1,5 % ?
4. a) Une ´ etudiante de 20 ans place 1000 $ ` a 5 %. Elle a l’intention de laisser ce
placement fructifier jusqu’` a sa retraite ` a 65 ans. On suppose que le rendement
(5 %) ne changera pas pendant sa carri` ere. Que vaudra alors le placement si les
int´ erˆ ets sont compos´ es (i) annuellement ou (ii) mensuellement au taux de
5
12 % ?
b) Un ´ etudiant du mˆ eme ˆ age que l’´ etudiante de a) d´ ecide de ne rien investir jusqu’` a
45 ans. Alors, il d´ ecide de d´ eposer une somme qui lui donnera, ` a 65 ans, le mˆ eme
montant que le placement de l’´ etudiante de a). Quelle est cette somme si les deux
placements profitent du mˆ eme taux ?
5. a) Une somme de 1000 $ est plac´ ee pour dix ans. Que vaudra-t-elle si le rendement
annuel est de 6 %, de 8 %, de 10 % ?
b) Combien faut-il attendre de temps pour que ce placement de 1000 $ double de
valeur pour les rendements annuels de a) ?
c) Que deviennent les r´ eponses de b) si les int´ erˆ ets sont simples plutˆ ot que compos´ es ?
d) Que deviennent les r´ eponses de b) si le placement initial est de 2000 $ ?
6. Une hypoth` eque est pay´ ee sur une p´ eriode de 20 ans ` a un taux hypoth´ ecaire constant
de 8 %. Apr` es combien de mois la moiti´ e de l’emprunt sera-t-elle rembours´ ee ?
7. a) Une ´ etudiante de 20 ans d´ ecouvre une banque lui offrant 10 % par an si elle
s’engage ` a placer 1000 $ par ann´ ee le jour de son anniversaire jusqu’` a ce qu’elle ait
65 ans. Que vaudra le magot ` a son 65
e anniversaire ?
b) Que devrait ˆ etre le d´ epˆ ot annuel si l’´ etudiante veut prendre sa retraite millionnaire ?
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Note : les int´ erˆ ets sont compos´ es annuellement ` a moins d’indication contraire.
1. Prouver la formule (5.2). (Suggestion : par induction ´ evidemment !)
2. a) La formule (5.4) est-elle lin´ eaire en Δ ? En d’autres mots, si le d´ epˆ ot annuel
Δ est multipli´ e par x, est-ce que le solde du placement au i-i` eme anniversaire sera
´ egalement multipli´ e par x ? (L’homme de la rue et les banquiers parleront de « r` egle
de trois » plutˆ ot que de « lin´ earit´ e ».)
b) La mˆ eme formule est-elle lin´ eaire en r ?
c) Si l’´ epargnante verse plutˆ ot
Δ
2 tous les six mois, est-ce qu’elle retirera la mˆ eme
somme apr` es N ann´ ees ?
3. La plupart des compagnies de cartes de cr´ edit affichent des pourcentages annuels
mˆ eme si elles composent les int´ erˆ ets mensuellement. Si le taux effectif annuel d’une
compagnie est de 18 %, quel pourcentage mensuel celle-ci doit-elle utiliser ? Avant
de commencer l’exercice : ce pourcentage mensuel sera-t-il plus petit ou plus grand
que
18
12 % = 1,5 % ?
4. a) Une ´ etudiante de 20 ans place 1000 $ ` a 5 %. Elle a l’intention de laisser ce
placement fructifier jusqu’` a sa retraite ` a 65 ans. On suppose que le rendement
(5 %) ne changera pas pendant sa carri` ere. Que vaudra alors le placement si les
int´ erˆ ets sont compos´ es (i) annuellement ou (ii) mensuellement au taux de
5
12 % ?
b) Un ´ etudiant du mˆ eme ˆ age que l’´ etudiante de a) d´ ecide de ne rien investir jusqu’` a
45 ans. Alors, il d´ ecide de d´ eposer une somme qui lui donnera, ` a 65 ans, le mˆ eme
montant que le placement de l’´ etudiante de a). Quelle est cette somme si les deux
placements profitent du mˆ eme taux ?
5. a) Une somme de 1000 $ est plac´ ee pour dix ans. Que vaudra-t-elle si le rendement
annuel est de 6 %, de 8 %, de 10 % ?
b) Combien faut-il attendre de temps pour que ce placement de 1000 $ double de
valeur pour les rendements annuels de a) ?
c) Que deviennent les r´ eponses de b) si les int´ erˆ ets sont simples plutˆ ot que compos´ es ?
d) Que deviennent les r´ eponses de b) si le placement initial est de 2000 $ ?
6. Une hypoth` eque est pay´ ee sur une p´ eriode de 20 ans ` a un taux hypoth´ ecaire constant
de 8 %. Apr` es combien de mois la moiti´ e de l’emprunt sera-t-elle rembours´ ee ?
7. a) Une ´ etudiante de 20 ans d´ ecouvre une banque lui offrant 10 % par an si elle
s’engage ` a placer 1000 $ par ann´ ee le jour de son anniversaire jusqu’` a ce qu’elle ait
65 ans. Que vaudra le magot ` a son 65
e anniversaire ?
b) Que devrait ˆ etre le d´ epˆ ot annuel si l’´ etudiante veut prendre sa retraite millionnaire ?