5.4 Emprunter
167
Le signe « − » devant Δ indique que l’emprunteur r´ eduit sa dette chaque mois alors que
les int´ erˆ ets mensuels r m p i l’augmentent. (Il n’a donc une chance de payer sa dette que
si p i r m < Δ.) Puisqu’il a choisi de payer cette dette en N ann´ ees, et donc en 12N mois,
il faudra que
p 12N = 0.
En copiant le calcul de la section pr´ ec´ edente (exercice !), on peut exprimer p i en fonction
de p 0 . On trouve
p i = p 0 (1 + r m )
i
− Δ
i−1
j=0
(1 + r m )
j
= p 0 (1 + r m )
i
− Δ
(1 + r m )
i
− 1
r m
.
(5.5)
Puisque la banque fixe le taux hypoth´ ecaire (et donc r m ) et que le client choisit le
montant emprunt´ e p 0 et la p´ eriode d’amortissement, la seule inconnue est Δ. En utilisant
p 12N = 0, on trouve
0 = p 12N = p 0 (1 + r m )
12N
−
Δ
r m
(1 + r m )
12N
− 1
et donc,
Δ = r m p 0
(1 + r m )
12N
((1 + r m ) 12N − 1)
.
(5.6)
Fig. 5.2. Le solde r´ esiduel durant la premi` ere ann´ ee (` a gauche) et durant les 20 ans d’amortissement (` a droite). Voir l’exemple 5.2.
Exemple 5.2 Pour un emprunt de 100 000 $ pay´ e sur 20 ans et contract´ e `
a un taux
mensuel de
2
3 % (donc, `
a un taux annuel nominal de 12 ×
2
3 % = 8 %), un acheteur devra
d´ ebourser des mensualit´ es de
Δ =
2
300
× 100 000 ×
(1 +
2
300 )
240
(1 +
2
300 ) 240 − 1
$ = 836,44 $.