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5 ´
Epargner et emprunter
Ce raisonnement peut ˆ etre r´ ep´ et´ e pour toutes les ann´ ees suivantes. Ainsi, p i se d´ eduit
de p i−1 par
p i = p i−1 (1 + r) + Δ.
Il est possible d’obtenir p i en fonction de p 0 . En exp´ erimentant un peu, nous devinerons la r´ eponse :
p 2 = p 1 (1 + r) + Δ
= (p 0 (1 + r) + Δ) (1 + r) + Δ
= p 0 (1 + r)
2 + Δ(1 + (1 + r))
et
p 3 = p 2 (1 + r) + Δ
=
p 0 (1 + r)
2 + Δ(1 + (1 + r))
(1 + r) + Δ
= p 0 (1 + r)
3 + Δ
1 + (1 + r) + (1 + r)
2
.
Il est tentant de proposer la formule g´ en´ erale
p i = p 0 (1 + r)
i + Δ
1 + (1 + r) + (1 + r)
2 + · · · + (1 + r)
i−1
= p 0 (1 + r)
i + Δ
i−1
j=0
(1 + r)
j .
(5.2)
Cette formule sera prouv´ ee ` a l’exercice 1.
En se rappelant que la somme des i premi` eres puissances d’un nombre x est
i−1
j=0
x
j =
x
i
− 1
x − 1
si x = 1, on obtient
p i = Δ(1 + r)
i + Δ
i−1
j=0
(1 + r)
j ,
car p 0 = Δ
= Δ
i
j=0
(1 + r)
j
= Δ
(1 + r)
i+1
− 1
(1 + r) − 1
=
Δ
r
(1 + r)
i+1
− 1
.
Donc,