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5 ´
Epargner et emprunter
Comme on peut l’imaginer, le taux effectif croˆ ıt lorsque la p´ eriode de composition
des int´ erˆ ets raccourcit. Par exemple, si les int´ erˆ ets sont vers´ es quotidiennement, le taux
effectif associ´ e ` a r = 5 % est
r eff =
1 +
r
365
365 − 1 = 5,126 75 %.
Que dire des int´ erˆ ets compos´ es ` a l’heure ? A la seconde ? Au milli` eme de seconde ?
´
Evidemment, seul un math´ ematicien peut poser la question : existe-t-il une limite au
taux effectif lorsque la p´ eriode tend vers z´ ero ? Mais c’est une fort jolie question ! Si
l’ann´ ee est divis´ ee en n parties ´ egales, alors le taux effectif r eff (n) est reli´ e au taux
nominal r par
1 + r eff (n) =
1 +
r
n
n
.
Selon cette r` egle, le banquier le plus g´ en´ ereux de la plan` ete composera ses int´ erˆ ets
continˆ ument, et son taux effectif sera
1 + r eff (∞) = lim
n→∞
(1 + r eff (n)) = lim
n→∞
1 +
r
n
n
= e
r .
La derni` ere ´ etape utilise la relation
lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e
qui est habituellement d´ emontr´ ee dans un premier cours d’analyse. En faisant le changement de variable m =
n
r , on obtient
lim
n→∞
1 +
r
n
n
= lim
m→∞
1 +
1
m
mr
=
lim
m→∞
1 +
1
m
m r
= e
r .
Il est amusant de voir apparaˆ ıtre la base e des logarithmes n´ ep´ eriens dans ce calcul
simple. (Puisque les prˆ ets sont vieux comme le monde, les banquiers auraient pu ˆ etre
les premiers ` a introduire ce nombre.) Si r = 5 % comme plus tˆ ot, 20 ans permettront de
multiplier le principal par le nombre e. En effet, selon la formule des int´ erˆ ets compos´ es
(5.1), le principal vaudra apr` es 20 ans
p 20 = p 0 (1 + r eff (∞))
20 = p 0 (e
r )
20 = p 0 e
5
100 ×20 = p 0 e.
Il n’y a pas une grande diff´ erence entre le taux nominal de r = 5 % et le taux effectif
r eff (∞) correspondant : r eff (∞) = e
r
− 1 = 5, 127 11 . . . %. Les banquiers n’utilisent
donc pas ce concept de composition limite (un peu abstrait) comme outil de marketing.
Les int´ erˆ ets simples sont tr` es rares et ne sont presque jamais utilis´ es dans les milieux
bancaires. Ils consistent ` a calculer les int´ erˆ ets sur le solde initial quel que soit l’anniversaire du placement. Dans l’exemple d’un placement initial p 0 = 1000 $ et r = 5 %, les
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Epargner et emprunter
Comme on peut l’imaginer, le taux effectif croˆ ıt lorsque la p´ eriode de composition
des int´ erˆ ets raccourcit. Par exemple, si les int´ erˆ ets sont vers´ es quotidiennement, le taux
effectif associ´ e ` a r = 5 % est
r eff =
1 +
r
365
365 − 1 = 5,126 75 %.
Que dire des int´ erˆ ets compos´ es ` a l’heure ? A la seconde ? Au milli` eme de seconde ?
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Evidemment, seul un math´ ematicien peut poser la question : existe-t-il une limite au
taux effectif lorsque la p´ eriode tend vers z´ ero ? Mais c’est une fort jolie question ! Si
l’ann´ ee est divis´ ee en n parties ´ egales, alors le taux effectif r eff (n) est reli´ e au taux
nominal r par
1 + r eff (n) =
1 +
r
n
n
.
Selon cette r` egle, le banquier le plus g´ en´ ereux de la plan` ete composera ses int´ erˆ ets
continˆ ument, et son taux effectif sera
1 + r eff (∞) = lim
n→∞
(1 + r eff (n)) = lim
n→∞
1 +
r
n
n
= e
r .
La derni` ere ´ etape utilise la relation
lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e
qui est habituellement d´ emontr´ ee dans un premier cours d’analyse. En faisant le changement de variable m =
n
r , on obtient
lim
n→∞
1 +
r
n
n
= lim
m→∞
1 +
1
m
mr
=
lim
m→∞
1 +
1
m
m r
= e
r .
Il est amusant de voir apparaˆ ıtre la base e des logarithmes n´ ep´ eriens dans ce calcul
simple. (Puisque les prˆ ets sont vieux comme le monde, les banquiers auraient pu ˆ etre
les premiers ` a introduire ce nombre.) Si r = 5 % comme plus tˆ ot, 20 ans permettront de
multiplier le principal par le nombre e. En effet, selon la formule des int´ erˆ ets compos´ es
(5.1), le principal vaudra apr` es 20 ans
p 20 = p 0 (1 + r eff (∞))
20 = p 0 (e
r )
20 = p 0 e
5
100 ×20 = p 0 e.
Il n’y a pas une grande diff´ erence entre le taux nominal de r = 5 % et le taux effectif
r eff (∞) correspondant : r eff (∞) = e
r
− 1 = 5, 127 11 . . . %. Les banquiers n’utilisent
donc pas ce concept de composition limite (un peu abstrait) comme outil de marketing.
Les int´ erˆ ets simples sont tr` es rares et ne sont presque jamais utilis´ es dans les milieux
bancaires. Ils consistent ` a calculer les int´ erˆ ets sur le solde initial quel que soit l’anniversaire du placement. Dans l’exemple d’un placement initial p 0 = 1000 $ et r = 5 %, les