5.2 Composition des int´ erˆ ets
161
troisi` eme anniversaire : 1157, 63 $
quatri` eme anniversaire : 1215, 51 $
cinqui` eme anniversaire : 1276, 28 $.
Si les int´ erˆ ets aux cinq anniversaires avaient ´ et´ e ´ egaux `
a ceux de la premi` ere ann´ ee
(50 $), le principal au cinqui` eme anniversaire aurait valu (1000 $ + 5 × 50 $) = 1250 $.
Puisque les int´ erˆ ets sont compos´ es annuellement, le principal apr` es cinq ans vaut plutˆ ot
1276,28 $.
Il est temps de formaliser ce calcul. Soient p i la valeur du principal au i-i` eme anniversaire et p 0 le solde initial. Soit r le taux d’int´ erˆ et. Dans l’exemple ci-dessus, le taux
est r =
5
100 . Le solde p i ` a l’anniversaire i peut ˆ etre calcul´ e ` a partir du solde p i−1 un an
avant. En effet, il suffit d’ajouter `
a ce dernier r × p i−1 :
p i = p i−1 + r · p i−1 = p i−1 (1 + r),
i≥ 1.
`
A l’aide de cette formule r´ ecursive, on d´ eduit que p i est reli´ e ` a p 0 par
p i = p i−1 (1 + r)
= (p i−2 (1 + r)) (1 + r) = p i−2 (1 + r)
2
= · · ·
= p 0 (1 + r)
i ,
i≥ 1.
(5.1)
Ceci est la formule des int´ erˆ ets compos´ es. Un math´ ematicien lirait cette formule en
disant que « le principal d’un placement croˆ ıt g´ eom´ etriquement », c’est-` a-dire qu’il croˆ ıt
comme la puissance du nombre 1 + r (qui est plus grand que 1).
Certaines banques veulent avantager les clients et composent les int´ erˆ ets selon un
cycle plus court que l’ann´ ee. Supposons que, dans l’exemple pr´ ec´ edent, les int´ erˆ ets sont
compos´ es trimestriellement, c’est-` a-dire aux trois mois. Puisqu’il y a quatre cycles de
trois mois dans un an, la banque versera des int´ erˆ ets de
r
4 % =
5
4 % tous les trois mois.
Apr` es un an, il y aura eu quatre versements d’int´ erˆ ets, et leur composition produira un
taux annuel r eff sup´ erieur au taux annonc´ e de 5 %. En effet,
1 + r eff =
1 +
r
4
4
et
r eff = 5, 095 %,
ce qui est donc avantageux pour le client ! Lorsqu’une banque verse les int´ erˆ ets ` a intervalles plus rapproch´ es que l’ann´ ee, le taux d’int´ erˆ et annonc´ e (par exemple, 5 %) est
le taux nominal. Dans les faits, le taux annuel, appel´ e taux effectif, est celui que vous
observerez aux anniversaires et est l´ eg` erement sup´ erieur. Dans le pr´ esent exemple, le
taux nominal est de 5 % alors que le taux effectif est de 5,095%.
161
troisi` eme anniversaire : 1157, 63 $
quatri` eme anniversaire : 1215, 51 $
cinqui` eme anniversaire : 1276, 28 $.
Si les int´ erˆ ets aux cinq anniversaires avaient ´ et´ e ´ egaux `
a ceux de la premi` ere ann´ ee
(50 $), le principal au cinqui` eme anniversaire aurait valu (1000 $ + 5 × 50 $) = 1250 $.
Puisque les int´ erˆ ets sont compos´ es annuellement, le principal apr` es cinq ans vaut plutˆ ot
1276,28 $.
Il est temps de formaliser ce calcul. Soient p i la valeur du principal au i-i` eme anniversaire et p 0 le solde initial. Soit r le taux d’int´ erˆ et. Dans l’exemple ci-dessus, le taux
est r =
5
100 . Le solde p i ` a l’anniversaire i peut ˆ etre calcul´ e ` a partir du solde p i−1 un an
avant. En effet, il suffit d’ajouter `
a ce dernier r × p i−1 :
p i = p i−1 + r · p i−1 = p i−1 (1 + r),
i≥ 1.
`
A l’aide de cette formule r´ ecursive, on d´ eduit que p i est reli´ e ` a p 0 par
p i = p i−1 (1 + r)
= (p i−2 (1 + r)) (1 + r) = p i−2 (1 + r)
2
= · · ·
= p 0 (1 + r)
i ,
i≥ 1.
(5.1)
Ceci est la formule des int´ erˆ ets compos´ es. Un math´ ematicien lirait cette formule en
disant que « le principal d’un placement croˆ ıt g´ eom´ etriquement », c’est-` a-dire qu’il croˆ ıt
comme la puissance du nombre 1 + r (qui est plus grand que 1).
Certaines banques veulent avantager les clients et composent les int´ erˆ ets selon un
cycle plus court que l’ann´ ee. Supposons que, dans l’exemple pr´ ec´ edent, les int´ erˆ ets sont
compos´ es trimestriellement, c’est-` a-dire aux trois mois. Puisqu’il y a quatre cycles de
trois mois dans un an, la banque versera des int´ erˆ ets de
r
4 % =
5
4 % tous les trois mois.
Apr` es un an, il y aura eu quatre versements d’int´ erˆ ets, et leur composition produira un
taux annuel r eff sup´ erieur au taux annonc´ e de 5 %. En effet,
1 + r eff =
1 +
r
4
4
et
r eff = 5, 095 %,
ce qui est donc avantageux pour le client ! Lorsqu’une banque verse les int´ erˆ ets ` a intervalles plus rapproch´ es que l’ann´ ee, le taux d’int´ erˆ et annonc´ e (par exemple, 5 %) est
le taux nominal. Dans les faits, le taux annuel, appel´ e taux effectif, est celui que vous
observerez aux anniversaires et est l´ eg` erement sup´ erieur. Dans le pr´ esent exemple, le
taux nominal est de 5 % alors que le taux effectif est de 5,095%.