4.8 Exercices
155
Montrer que ces deux courbes se touchent en x = 0. Montrer que le contact est
d’ordre 1 en ce point, mais pas d’ordre 2.
b) Pour ´ etudier le contact au point (a, 0), il est utile d’´ echanger le rˆ ole de x et
de y dans la d´ efinition ci-dessus. Ainsi, l’´ equation de l’ellipse prendra la forme
β(y) =
a
b
b 2 − y 2 , y
.
(Vous en convaincre !) ´
Ecrire l’´ equation du cercle fronti` ere du disque maximal
tangent au point (a, 0) sous la forme α(y) = (f (y), y) pour une bonne fonction
f (y). Vous assurer que α(0) = β(0) = (a, 0). Quel est l’ordre du contact des deux
courbes en ce point ? (On l’obtiendra en prenant les d´ eriv´ ees par rapport `
a y.) En
conclure qu’il est raisonnable d’inclure les deux points extrˆ emes (−(a
2
− b
2 )/a, 0)
et ((a
2
− b
2 )/a, 0) dans le squelette Σ(ellipse).
17. Dans le cas o` u la fonction f 1 (x, y) de la preuve de la proposition 4.17 est de la
forme f 1 (x, y) = y − f (x), montrer que la condition J non inversible (c’est-` a-dire
det(J) = 0), o` u la matrice J est donn´ ee par (4.5), est ´ equivalente `
a dire que la
courbe y = f (x) a un contact d’ordre sup´ erieur ou ´ egal `
a 2 en (x 1 , y 1 ) avec le
cercle (x − x 0 )
2 + (y − y 0 )
2 = r
2 , o` u r
2 = (x 1 − x 0 )
2 + (y 1 − y 0 )
2 . (Vous devez
montrer que si vous ´ ecrivez l’´ equation du cercle sous la forme y = g(x), et si vous
supposez f (x 1 ) = g(x 1 ) = y 1 et f
(x 1 ) = g
(x 1 ), alors det(J) = 0 si et seulement
si f
(x 1 ) = g
(x 1 ).) (Le concept de contact d’ordre p a ´ et´ e d´ efini et explor´ e ` a
l’exercice 16.)
Fig. 4.22. La r´ egion R de l’exercice 18
18. On consid` ere une r´ egion R qui est un rectangle R dans lequel on a remplac´ e les
coins par des quarts de cercle de rayon (voir la figure 4.22). Donner le squelette
de R . Montrer qu’il co¨ ıncide avec le r-squelette de R pour un certain r. Lequel ?
(Remarque : ici, la fronti` ere de R n’est que C
1 . Pour obtenir une fronti` ere C
3
par morceaux, il aurait fallu remplacer les quarts de cercle par des arcs de courbe
ayant un contact d’ordre 3 avec les segments de droite. Mais l’exercice illustre
155
Montrer que ces deux courbes se touchent en x = 0. Montrer que le contact est
d’ordre 1 en ce point, mais pas d’ordre 2.
b) Pour ´ etudier le contact au point (a, 0), il est utile d’´ echanger le rˆ ole de x et
de y dans la d´ efinition ci-dessus. Ainsi, l’´ equation de l’ellipse prendra la forme
β(y) =
a
b
b 2 − y 2 , y
.
(Vous en convaincre !) ´
Ecrire l’´ equation du cercle fronti` ere du disque maximal
tangent au point (a, 0) sous la forme α(y) = (f (y), y) pour une bonne fonction
f (y). Vous assurer que α(0) = β(0) = (a, 0). Quel est l’ordre du contact des deux
courbes en ce point ? (On l’obtiendra en prenant les d´ eriv´ ees par rapport `
a y.) En
conclure qu’il est raisonnable d’inclure les deux points extrˆ emes (−(a
2
− b
2 )/a, 0)
et ((a
2
− b
2 )/a, 0) dans le squelette Σ(ellipse).
17. Dans le cas o` u la fonction f 1 (x, y) de la preuve de la proposition 4.17 est de la
forme f 1 (x, y) = y − f (x), montrer que la condition J non inversible (c’est-` a-dire
det(J) = 0), o` u la matrice J est donn´ ee par (4.5), est ´ equivalente `
a dire que la
courbe y = f (x) a un contact d’ordre sup´ erieur ou ´ egal `
a 2 en (x 1 , y 1 ) avec le
cercle (x − x 0 )
2 + (y − y 0 )
2 = r
2 , o` u r
2 = (x 1 − x 0 )
2 + (y 1 − y 0 )
2 . (Vous devez
montrer que si vous ´ ecrivez l’´ equation du cercle sous la forme y = g(x), et si vous
supposez f (x 1 ) = g(x 1 ) = y 1 et f
(x 1 ) = g
(x 1 ), alors det(J) = 0 si et seulement
si f
(x 1 ) = g
(x 1 ).) (Le concept de contact d’ordre p a ´ et´ e d´ efini et explor´ e ` a
l’exercice 16.)
Fig. 4.22. La r´ egion R de l’exercice 18
18. On consid` ere une r´ egion R qui est un rectangle R dans lequel on a remplac´ e les
coins par des quarts de cercle de rayon (voir la figure 4.22). Donner le squelette
de R . Montrer qu’il co¨ ıncide avec le r-squelette de R pour un certain r. Lequel ?
(Remarque : ici, la fronti` ere de R n’est que C
1 . Pour obtenir une fronti` ere C
3
par morceaux, il aurait fallu remplacer les quarts de cercle par des arcs de courbe
ayant un contact d’ordre 3 avec les segments de droite. Mais l’exercice illustre