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4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
b) Montrer qu’un graphe sans cycle est connexe, donc est un arbre, si et seulement si sa caract´ eristique d’Euler est 1.
16. Les points extrˆ emes du squelette de l’ellipse
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1 quand b < a
Cet exercice poursuit l’exemple 4.9. Les points du squelette ont ´ et´ e d´ efinis comme
´ etant les points int´ erieurs de l’ellipse qui sont atteints par deux feux allum´ es
simultan´ ement sur la fronti` ere. Le squelette est un segment du grand axe. Ses
deux extr´ emit´ es
a
2
− b
2
a
, 0
et
−
a
2
− b
2
a
, 0
ne sont cependant pas atteintes par les feux issus de deux foyers distincts. Par
exemple, en ´ etudiant la figure 4.10, on voit que, pour le point extrˆ eme (
a
2 −b
2
a , 0),
c’est le feu issu du point (a, 0) au bout du grand axe de l’ellipse qui l’atteint le
premier. Pourquoi ces deux points extrˆ emes appartiennent-ils donc au squelette ?
La th´ eorie des contacts de courbes de la g´ eom´ etrie diff´ erentielle y r´ epond.
Soient α(x) = (x, y 1 (x)) et β(x) = (x, y 2 (x)) deux courbes dans le plan qui se
touchent en x = 0 :
α(0) = β(0).
Soit p ≥ 1. On dit que les deux courbes α et β ont un contact d’ordre sup´ erieur
ou ´ egal `
a p si
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d
dx α(0) =
d
dx β(0),
d
2
dx 2 α(0) =
d
2
dx 2 β(0),
. . .
d
p
dx p α(0) =
d
p
dx p β(0).
Le contact est d’ordre exactement p si
d
p+1
dx p+1 α(0) =
d
p p+1
dx p+1 β(0). Intuitivement,
un contact d’ordre ´ elev´ e entre deux courbes indique qu’elles demeurent proches
« longtemps » lorsqu’on s’approche ou qu’on s’´ eloigne du point commun, ou encore,
que leur « degr´ e de tangence » est plus intime. On peut faire le lien avec la notion
de multiplicit´ e d’une racine d’une ´ equation. Quand on a une racine double (ou
une racine de multiplicit´ e p), on peut la consid´ erer comme le cas limite de deux
racines (p racines) qui se confondent. Ici on peut voir un point de contact d’ordre
p comme le cas limite de p points de tangence qui se confondent.
Nous allons calculer l’ordre du contact du disque maximal avec l’ellipse au bout
de l’axe mineur (c’est-` a-dire en (0, b)), puis au bout de l’axe majeur (c’est-` a-dire
en (a, 0)).
a) Montrer que l’´ equation du cercle fronti` ere du disque maximal tangent au point
(0, b) est
α(x) = (x,
b 2 − x 2 )
et que l’´ equation de l’ellipse est
β(x) =
x,
b
a
a 2 − x 2
.
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
b) Montrer qu’un graphe sans cycle est connexe, donc est un arbre, si et seulement si sa caract´ eristique d’Euler est 1.
16. Les points extrˆ emes du squelette de l’ellipse
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1 quand b < a
Cet exercice poursuit l’exemple 4.9. Les points du squelette ont ´ et´ e d´ efinis comme
´ etant les points int´ erieurs de l’ellipse qui sont atteints par deux feux allum´ es
simultan´ ement sur la fronti` ere. Le squelette est un segment du grand axe. Ses
deux extr´ emit´ es
a
2
− b
2
a
, 0
et
−
a
2
− b
2
a
, 0
ne sont cependant pas atteintes par les feux issus de deux foyers distincts. Par
exemple, en ´ etudiant la figure 4.10, on voit que, pour le point extrˆ eme (
a
2 −b
2
a , 0),
c’est le feu issu du point (a, 0) au bout du grand axe de l’ellipse qui l’atteint le
premier. Pourquoi ces deux points extrˆ emes appartiennent-ils donc au squelette ?
La th´ eorie des contacts de courbes de la g´ eom´ etrie diff´ erentielle y r´ epond.
Soient α(x) = (x, y 1 (x)) et β(x) = (x, y 2 (x)) deux courbes dans le plan qui se
touchent en x = 0 :
α(0) = β(0).
Soit p ≥ 1. On dit que les deux courbes α et β ont un contact d’ordre sup´ erieur
ou ´ egal `
a p si
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
d
dx α(0) =
d
dx β(0),
d
2
dx 2 α(0) =
d
2
dx 2 β(0),
. . .
d
p
dx p α(0) =
d
p
dx p β(0).
Le contact est d’ordre exactement p si
d
p+1
dx p+1 α(0) =
d
p p+1
dx p+1 β(0). Intuitivement,
un contact d’ordre ´ elev´ e entre deux courbes indique qu’elles demeurent proches
« longtemps » lorsqu’on s’approche ou qu’on s’´ eloigne du point commun, ou encore,
que leur « degr´ e de tangence » est plus intime. On peut faire le lien avec la notion
de multiplicit´ e d’une racine d’une ´ equation. Quand on a une racine double (ou
une racine de multiplicit´ e p), on peut la consid´ erer comme le cas limite de deux
racines (p racines) qui se confondent. Ici on peut voir un point de contact d’ordre
p comme le cas limite de p points de tangence qui se confondent.
Nous allons calculer l’ordre du contact du disque maximal avec l’ellipse au bout
de l’axe mineur (c’est-` a-dire en (0, b)), puis au bout de l’axe majeur (c’est-` a-dire
en (a, 0)).
a) Montrer que l’´ equation du cercle fronti` ere du disque maximal tangent au point
(0, b) est
α(x) = (x,
b 2 − x 2 )
et que l’´ equation de l’ellipse est
β(x) =
x,
b
a
a 2 − x 2
.