4.8 Exercices
151
Voici enfin la propri´ et´ e fondamentale du squelette Σ(R) d’une r´ egion R qui en est
une nouvelle caract´ erisation.
Th´ eor` eme 4.27 Le squelette d’une r´ egion R du plan R
2 (respectivement de l’espace
R
3 ) est l’ensemble des centres des disques maximaux (boules maximales) de la r´ egion
R.
Preuve Bien que le th´ eor` eme soit valide sous des hypoth` eses plus g´ en´ erales, nous
ne consid´ erons, comme pr´ ec´ edemment, que le cas o` u la fronti` ere est continˆ ument
diff´ erentiable, et nous nous limitons `
a une r´ egion de R
2 .
Soit E l’ensemble des centres des disques maximaux. Montrer l’´ egalit´ e entre les deux
d´ efinitions consiste ` a montrer les deux inclusions suivantes
Σ(R) ⊂ E
Σ(R) ⊃ E.
Si X ∈ Σ(R) et d(X) = min Y ∈∂R |X − Y |, alors le cercle S(X, d(X)) contient deux
points X 1 et X 2 de ∂R, B(X, d(X)) ⊂ R par d´ efinition du squelette, et B(X, d(X)) est
donc maximal de par le lemme 4.26. L’inclusion Σ(R) ⊂ E est donc d´ emontr´ ee.
Pour d´ emontrer l’inclusion Σ(R) ⊃ E, choisissons X ∈ E et r tels que B(X, r)
est un disque maximal. Alors B(X, r) ⊂ R. Le cercle S(X, r) doit contenir un point
X 1 ∈ ∂R ; sinon, nous pourrions utiliser le premier processus de gonflement d´ epeint
` a la figure 4.17a, et B(X, r) ne serait pas maximal. Il doit avoir, en fait, un second
point de tangence ; sinon, nous pourrions utiliser le second processus de gonflement
d´ epeint `
a la figure 4.17b. Ainsi, B(X, r) ⊂ R est de rayon maximal (c’est-` a-dire r =
min Y ∈∂R |X − Y |) et touche ∂R en deux points. Ces deux propri´ et´ es sont pr´ ecis´ ement
les conditions pour que X ∈ Σ(R).
Nous laissons la preuve du corollaire suivant en exercice.
Corollaire 4.28 Une r´ egion R du plan (respectivement de l’espace) est compl` etement
d´ etermin´ ee par son squelette Σ(R) et la fonction d(X) d´ efinie pour X ∈ Σ(R).
4.8 Exercices
1. a) Trouver le squelette d’un triangle. D´ eterminer son r-squelette.
b) Montrer que le squelette du triangle est la r´ eunion de trois segments de droite.
Quel th´ eor` eme classique de la g´ eom´ etrie euclidienne assure que ces trois segments
se rencontrent en un point ?
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Voici enfin la propri´ et´ e fondamentale du squelette Σ(R) d’une r´ egion R qui en est
une nouvelle caract´ erisation.
Th´ eor` eme 4.27 Le squelette d’une r´ egion R du plan R
2 (respectivement de l’espace
R
3 ) est l’ensemble des centres des disques maximaux (boules maximales) de la r´ egion
R.
Preuve Bien que le th´ eor` eme soit valide sous des hypoth` eses plus g´ en´ erales, nous
ne consid´ erons, comme pr´ ec´ edemment, que le cas o` u la fronti` ere est continˆ ument
diff´ erentiable, et nous nous limitons `
a une r´ egion de R
2 .
Soit E l’ensemble des centres des disques maximaux. Montrer l’´ egalit´ e entre les deux
d´ efinitions consiste ` a montrer les deux inclusions suivantes
Σ(R) ⊂ E
Σ(R) ⊃ E.
Si X ∈ Σ(R) et d(X) = min Y ∈∂R |X − Y |, alors le cercle S(X, d(X)) contient deux
points X 1 et X 2 de ∂R, B(X, d(X)) ⊂ R par d´ efinition du squelette, et B(X, d(X)) est
donc maximal de par le lemme 4.26. L’inclusion Σ(R) ⊂ E est donc d´ emontr´ ee.
Pour d´ emontrer l’inclusion Σ(R) ⊃ E, choisissons X ∈ E et r tels que B(X, r)
est un disque maximal. Alors B(X, r) ⊂ R. Le cercle S(X, r) doit contenir un point
X 1 ∈ ∂R ; sinon, nous pourrions utiliser le premier processus de gonflement d´ epeint
` a la figure 4.17a, et B(X, r) ne serait pas maximal. Il doit avoir, en fait, un second
point de tangence ; sinon, nous pourrions utiliser le second processus de gonflement
d´ epeint `
a la figure 4.17b. Ainsi, B(X, r) ⊂ R est de rayon maximal (c’est-` a-dire r =
min Y ∈∂R |X − Y |) et touche ∂R en deux points. Ces deux propri´ et´ es sont pr´ ecis´ ement
les conditions pour que X ∈ Σ(R).
Nous laissons la preuve du corollaire suivant en exercice.
Corollaire 4.28 Une r´ egion R du plan (respectivement de l’espace) est compl` etement
d´ etermin´ ee par son squelette Σ(R) et la fonction d(X) d´ efinie pour X ∈ Σ(R).
4.8 Exercices
1. a) Trouver le squelette d’un triangle. D´ eterminer son r-squelette.
b) Montrer que le squelette du triangle est la r´ eunion de trois segments de droite.
Quel th´ eor` eme classique de la g´ eom´ etrie euclidienne assure que ces trois segments
se rencontrent en un point ?