4.7 La propri´ et´ e fondamentale du squelette
149
min Y ∈∂R |X − Y |. Quelques ´ etapes du « gonflement » du disque sont repr´ esent´ ees ` a la
figure 4.17a. Le disque initial B(X, ,) est en trait gras, les disques subs´ equents sont en
trait fin. Le premier point de contact X 1 est indiqu´ e. La droite joignant X et X 1 contient
un diam` etre du cercle. Elle est normale ` a la tangente au cercle en X 1 . Comme le cercle
est tangent `
a ∂R en X 1 , cette droite est normale ` a la fronti` ere (voir le lemme 4.7).
Le disque B(X, min Y ∈∂R |X − Y |) contient X, mais n’est pas n´ ecessairement maximal. Pour le voir, tra¸ cons une droite passant par le centre de X et le premier point
de contact X 1 . Cette droite est normale ` a la fronti` ere, et nous savons que le centre
d’un disque tangent `
a ∂R doit se trouver sur cette droite (ceci d´ ecoule du fait que R
et le disque ont la mˆ eme tangente en X 1 et du lemme 4.7). Tra¸ cons maintenant de
nouveaux disques dont le centre est sur cette droite et choisis de fa¸ con ` a ce que X 1
demeure ` a leur fronti` ere. Ce second processus de gonflement est d´ ecrit ` a la figure 4.17b.
Le disque B(X, min Y ∈∂R |X − Y |) obtenu `
a la premi` ere ´ etape est trac´ e en gras, les
disques subs´ equents le sont en trait fin. Nous arrˆ etons ce processus lorsqu’un second
point de contact X 2 est obtenu. (Le second point de contact peut ˆ etre confondu avec
X 1 (voir l’exercice 16).) Le disque B(X
, r) ainsi trac´ e contient le point X original. Les
deux lemmes suivants nous convaincront qu’il est maximal.
Lemme 4.25 Si B(X, r) ⊂ R et si son cercle fronti` ere S(X, r) contient un point X 1
de ∂R, alors X 1 est un point de tangence de S(X, r) et ∂R.
Preuve Puisque B(X, r) ⊂ R et que S(X, r) contient un point X 1 de ∂R, il faut que
r = min Y ∈∂R |X − Y |. Regardons la tangente ` a ∂R en X 1 . Si elle ne co¨ ıncide pas avec
la tangente au cercle S(X, r) en X 1 , alors un segment de la tangente est inclus dans le
disque B(X, r) (voir le lemme 4.7). Comme la fronti` ere est tangente ` a ce segment, un
morceau de la fronti` ere est situ´ e ` a l’int´ erieur de B(X, r). B(X, r) contient donc aussi
des points situ´ es ` a l’ext´ erieur de R (figure 4.18). Ceci contredit le fait que B(X, r) ⊂ R.
Lemme 4.26 Si B(X, r) ⊂ R et S(X, r) contient deux points distincts X 1 et X 2 de
∂R, alors B(X, r) est un disque maximal de R. (Nous pourrions aussi g´ en´ eraliser au
cas d’un point de contact entre S(X, r) et ∂R avec un ordre de contact plus grand que
1. Voir l’exercice 16.)
Preuve La question `
a laquelle nous devons r´ epondre est la suivante : existe-t-il un
disque B(X
, r
) (distinct de B(X, r)) tel que
B(X, r) ⊂ B(X
, r
) ⊂ R ?
(4.6)
S’il n’y en a pas, B(X, r) sera maximal. Essayons donc de construire un tel B(X
, r
).
Puisque X 1 , X 2 ∈ S(X, r), il faut donc que le cercle S(X
, r
) entourant B(X
, r
)
contienne ´ egalement ces points. Puisqu’ils sont `
a la fronti` ere de ∂R et que B(X
, r
) doit
ˆ etre inclus dans R, il est impossible de choisir X
= X et r
> r car, alors, B(X
= X, r
)
contiendrait des points ` a l’ext´ erieur de R.
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min Y ∈∂R |X − Y |. Quelques ´ etapes du « gonflement » du disque sont repr´ esent´ ees ` a la
figure 4.17a. Le disque initial B(X, ,) est en trait gras, les disques subs´ equents sont en
trait fin. Le premier point de contact X 1 est indiqu´ e. La droite joignant X et X 1 contient
un diam` etre du cercle. Elle est normale ` a la tangente au cercle en X 1 . Comme le cercle
est tangent `
a ∂R en X 1 , cette droite est normale ` a la fronti` ere (voir le lemme 4.7).
Le disque B(X, min Y ∈∂R |X − Y |) contient X, mais n’est pas n´ ecessairement maximal. Pour le voir, tra¸ cons une droite passant par le centre de X et le premier point
de contact X 1 . Cette droite est normale ` a la fronti` ere, et nous savons que le centre
d’un disque tangent `
a ∂R doit se trouver sur cette droite (ceci d´ ecoule du fait que R
et le disque ont la mˆ eme tangente en X 1 et du lemme 4.7). Tra¸ cons maintenant de
nouveaux disques dont le centre est sur cette droite et choisis de fa¸ con ` a ce que X 1
demeure ` a leur fronti` ere. Ce second processus de gonflement est d´ ecrit ` a la figure 4.17b.
Le disque B(X, min Y ∈∂R |X − Y |) obtenu `
a la premi` ere ´ etape est trac´ e en gras, les
disques subs´ equents le sont en trait fin. Nous arrˆ etons ce processus lorsqu’un second
point de contact X 2 est obtenu. (Le second point de contact peut ˆ etre confondu avec
X 1 (voir l’exercice 16).) Le disque B(X
, r) ainsi trac´ e contient le point X original. Les
deux lemmes suivants nous convaincront qu’il est maximal.
Lemme 4.25 Si B(X, r) ⊂ R et si son cercle fronti` ere S(X, r) contient un point X 1
de ∂R, alors X 1 est un point de tangence de S(X, r) et ∂R.
Preuve Puisque B(X, r) ⊂ R et que S(X, r) contient un point X 1 de ∂R, il faut que
r = min Y ∈∂R |X − Y |. Regardons la tangente ` a ∂R en X 1 . Si elle ne co¨ ıncide pas avec
la tangente au cercle S(X, r) en X 1 , alors un segment de la tangente est inclus dans le
disque B(X, r) (voir le lemme 4.7). Comme la fronti` ere est tangente ` a ce segment, un
morceau de la fronti` ere est situ´ e ` a l’int´ erieur de B(X, r). B(X, r) contient donc aussi
des points situ´ es ` a l’ext´ erieur de R (figure 4.18). Ceci contredit le fait que B(X, r) ⊂ R.
Lemme 4.26 Si B(X, r) ⊂ R et S(X, r) contient deux points distincts X 1 et X 2 de
∂R, alors B(X, r) est un disque maximal de R. (Nous pourrions aussi g´ en´ eraliser au
cas d’un point de contact entre S(X, r) et ∂R avec un ordre de contact plus grand que
1. Voir l’exercice 16.)
Preuve La question `
a laquelle nous devons r´ epondre est la suivante : existe-t-il un
disque B(X
, r
) (distinct de B(X, r)) tel que
B(X, r) ⊂ B(X
, r
) ⊂ R ?
(4.6)
S’il n’y en a pas, B(X, r) sera maximal. Essayons donc de construire un tel B(X
, r
).
Puisque X 1 , X 2 ∈ S(X, r), il faut donc que le cercle S(X
, r
) entourant B(X
, r
)
contienne ´ egalement ces points. Puisqu’ils sont `
a la fronti` ere de ∂R et que B(X
, r
) doit
ˆ etre inclus dans R, il est impossible de choisir X
= X et r
> r car, alors, B(X
= X, r
)
contiendrait des points ` a l’ext´ erieur de R.