148
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
Proposition 4.24 Tout point X d’une r´ egion R appartient ` a un disque maximal.
Preuve Nous ´ ecrirons la preuve dans le cas d’une r´ egion de R
2 et invitons le lecteur
` a faire les changements n´ ecessaires pour le cas d’une r´ egion de R
3 .
Pour cela, nous allons « gonfler » un disque autour de X jusqu’` a ce qu’il soit maximal.
(a) On augmente le rayon jusqu’` a ce que le disque touche
la fronti` ere.
(b) On recule le centre du disque jusqu’` a ce que le disque
soit tangent ` a ∂R en 2 points.
Fig. 4.17. La construction d’un disque maximal proc` ede par deux processus de gonflement.
Puisque X est ` a l’int´ erieur de R, on peut choisir un rayon suffisamment petit
pour que le (petit) disque B(X, ,) soit compl` etement inclus dans R. Augmentons le
rayon de ce disque jusqu’` a ce qu’il rencontre la fronti` ere. Le rayon du disque est alors
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
Proposition 4.24 Tout point X d’une r´ egion R appartient ` a un disque maximal.
Preuve Nous ´ ecrirons la preuve dans le cas d’une r´ egion de R
2 et invitons le lecteur
` a faire les changements n´ ecessaires pour le cas d’une r´ egion de R
3 .
Pour cela, nous allons « gonfler » un disque autour de X jusqu’` a ce qu’il soit maximal.
(a) On augmente le rayon jusqu’` a ce que le disque touche
la fronti` ere.
(b) On recule le centre du disque jusqu’` a ce que le disque
soit tangent ` a ∂R en 2 points.
Fig. 4.17. La construction d’un disque maximal proc` ede par deux processus de gonflement.
Puisque X est ` a l’int´ erieur de R, on peut choisir un rayon suffisamment petit
pour que le (petit) disque B(X, ,) soit compl` etement inclus dans R. Augmentons le
rayon de ce disque jusqu’` a ce qu’il rencontre la fronti` ere. Le rayon du disque est alors