4.7 La propri´ et´ e fondamentale du squelette
147
La croissance ` a partir du squelette et de la fonction d(X) associ´ ee g´ en` ere une forme ` a
partir de son cœur.
Cette id´ ee de Blum est suffisamment puissante pour qu’on lui r´ eserve la section 4.7
ci-dessous. On va d´ ecrire une r´ egion, non par sa fronti` ere, mais par son squelette et
son volume autour du squelette : c’est ce qu’on appelle la propri´ et´ e fondamentale du
squelette.
Quelques autres applications du squelette La notion de squelette ´ etait connue
depuis longtemps des physiciens. Elle intervient dans l’´ etude des fronts d’onde, en particulier en optique g´ eom´ etrique. Par exemple, il est connu depuis longtemps que le
squelette d’une ellipse est un segment de droite.
La notion de squelette apparaˆ ıt dans l’´ etude de la forme des dunes de sable : comme
celles-ci ont une pente ` a peu pr` es constante, la projection de l’arˆ ete sommitale sur la
base est ` a peu pr` es le squelette de la base [3].
Le squelette d’une forme est un concept couramment utilis´ e par les informaticiens
qui font de la mod´ elisation en trois dimensions. Si l’on se donne une courbe dans l’espace
X(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], et, en chaque point de la courbe, un rayon d(t), alors
on engendre un volume comme la r´ eunion des boules B(X(t), d(t)) centr´ ees en X(t)
de rayon d(t). Ce volume est un genre de cyclindre g´ en´ eralis´ e, car son axe est une
courbe plutˆ ot qu’une droite, et son rayon est variable. Les informaticiens approximent
le volume qu’ils veulent mod´ eliser par un nombre fini de tels cylindres g´ en´ eralis´ es. On
voit ais´ ement que cela donne une mani` ere ´ economique de sp´ ecifier un volume donn´ e.
4.7 La propri´ et´ e fondamentale du squelette d’une r´ egion
Nous allons caract´ eriser les points du squelette d’une r´ egion R par une propri´ et´ e
fondamentale. Toutes les preuves de cette section seront intuitives, en ce sens que nous
supposerons que la fronti` ere ∂R de R poss` ede une tangente en tout point. Il est possible
de g´ en´ eraliser ` a d’autres r´ egions, mais au prix de subtilit´ es d’analyse que nous voulons
´ eviter.
Pour cela, on d´ efinit la notion de disque (boule) maximal(e) inclus(e) dans une r´ egion
R de R
2 (de R
3 ). Nous allons montrer que les points du squelette sont pr´ ecis´ ement les
centres des disques maximaux (boules maximales).
D´ efinition 4.23 Soit R une r´ egion du plan R
2 (de l’espace R
3 ). Notons par B(X, r)
un disque (une boule) centr´ e(e) en X de rayon r. Le disque (la boule) B(X, r) est un
disque (une boule) maximal(e) de la r´ egion R si B(X, r) ⊂ R et B(X, r) n’est inclus
dans aucun disque (aucune boule) ´ egalement inclus(e) dans R.
Commen¸ cons par d´ evelopper l’intuition de ce nouveau concept en nous convainquant
de l’´ enonc´ e suivant.
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La croissance ` a partir du squelette et de la fonction d(X) associ´ ee g´ en` ere une forme ` a
partir de son cœur.
Cette id´ ee de Blum est suffisamment puissante pour qu’on lui r´ eserve la section 4.7
ci-dessous. On va d´ ecrire une r´ egion, non par sa fronti` ere, mais par son squelette et
son volume autour du squelette : c’est ce qu’on appelle la propri´ et´ e fondamentale du
squelette.
Quelques autres applications du squelette La notion de squelette ´ etait connue
depuis longtemps des physiciens. Elle intervient dans l’´ etude des fronts d’onde, en particulier en optique g´ eom´ etrique. Par exemple, il est connu depuis longtemps que le
squelette d’une ellipse est un segment de droite.
La notion de squelette apparaˆ ıt dans l’´ etude de la forme des dunes de sable : comme
celles-ci ont une pente ` a peu pr` es constante, la projection de l’arˆ ete sommitale sur la
base est ` a peu pr` es le squelette de la base [3].
Le squelette d’une forme est un concept couramment utilis´ e par les informaticiens
qui font de la mod´ elisation en trois dimensions. Si l’on se donne une courbe dans l’espace
X(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], et, en chaque point de la courbe, un rayon d(t), alors
on engendre un volume comme la r´ eunion des boules B(X(t), d(t)) centr´ ees en X(t)
de rayon d(t). Ce volume est un genre de cyclindre g´ en´ eralis´ e, car son axe est une
courbe plutˆ ot qu’une droite, et son rayon est variable. Les informaticiens approximent
le volume qu’ils veulent mod´ eliser par un nombre fini de tels cylindres g´ en´ eralis´ es. On
voit ais´ ement que cela donne une mani` ere ´ economique de sp´ ecifier un volume donn´ e.
4.7 La propri´ et´ e fondamentale du squelette d’une r´ egion
Nous allons caract´ eriser les points du squelette d’une r´ egion R par une propri´ et´ e
fondamentale. Toutes les preuves de cette section seront intuitives, en ce sens que nous
supposerons que la fronti` ere ∂R de R poss` ede une tangente en tout point. Il est possible
de g´ en´ eraliser ` a d’autres r´ egions, mais au prix de subtilit´ es d’analyse que nous voulons
´ eviter.
Pour cela, on d´ efinit la notion de disque (boule) maximal(e) inclus(e) dans une r´ egion
R de R
2 (de R
3 ). Nous allons montrer que les points du squelette sont pr´ ecis´ ement les
centres des disques maximaux (boules maximales).
D´ efinition 4.23 Soit R une r´ egion du plan R
2 (de l’espace R
3 ). Notons par B(X, r)
un disque (une boule) centr´ e(e) en X de rayon r. Le disque (la boule) B(X, r) est un
disque (une boule) maximal(e) de la r´ egion R si B(X, r) ⊂ R et B(X, r) n’est inclus
dans aucun disque (aucune boule) ´ egalement inclus(e) dans R.
Commen¸ cons par d´ evelopper l’intuition de ce nouveau concept en nous convainquant
de l’´ enonc´ e suivant.