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4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
Remarque sur la preuve Examinons un peu plus la structure de cette preuve. On a
pris un point X 0 ∈ R \ Σ(R). On s’est seulement servi de cette hypoth` ese pour affirmer
qu’il existe un unique point de la fronti` ere, X 1 , qui est le plus proche de X 0 . Mais
cette hypoth` ese est aussi v´ erifi´ ee par les points extrˆ emes du squelette, par exemple les
extr´ emit´ es du squelette de l’ellipse (voir l’exemple 4.9). On veut montrer que, pour
chaque X voisin de X 0 , il existe un unique point Y de la fronti` ere dont il est le plus
proche. Cette propri´ et´ e n’est plus vraie pour les points extrˆ emes du squelette. En effet,
un tel point extrˆ eme du squelette a des voisins sur le squelette pour lesquels la distance
minimale ` a la fronti` ere est r´ ealis´ ee en plusieurs points Y .
Remarque sur l’utilit´ e de la proposition 4.17 On a rencontr´ e beaucoup d’exemples
de domaines dont la fronti` ere est continue et seulement C
3 par morceaux, par exemple
des domaines polygonaux. Donc, l’hypoth` ese de la proposition 4.17 n’est pas v´ erifi´ ee.
Si on arrondit tr` es l´ eg` erement les coins d’une r´ egion dont la fronti` ere est de classe
C
3 par morceaux, alors la fronti` ere de la nouvelle r´ egion devient de classe C
3 , et la
m´ ethode s’applique. Il faut se convaincre que le « lissage » de la fronti` ere n’a pas chang´ e
significativement le squelette de la r´ egion, (voir l’exercice 18).
4.6 Les autres applications du squelette en science
Le squelette en morphologie La notion de squelette d’une r´ egion a ´ et´ e introduite
dans le contexte de la biologie th´ eorique par Harry Blum [1] pour d´ ecrire les formes de
la nature ou morphologie. Blum appelait le squelette « axe de sym´ etrie » de la figure.
En effet, lorsque les biologistes veulent d´ ecrire les formes de la nature, ils sont int´ eress´ es
` a d´ ecrire les diff´ erences de formes entre deux esp` eces. Or, `
a l’int´ erieur d’une mˆ eme
esp` ece, on observe d´ ej` a une tr` es grande variabilit´ e de formes. On a donc besoin de
trouver des propri´ et´ es caract´ eristiques de la forme de tous les individus d’une mˆ eme
esp` ece. Rappelons, par exemple, que le squelette d’une r´ egion plane est un graphe (voir
la d´ efinition 4.14). Les propri´ et´ es de ce graphe peuvent d´ ecrire une esp` ece animale si
les graphes de tous les individus de l’esp` ece sont ´ equivalents. Dans ce cas, on dira que
le graphe du squelette est un « invariant » de l’esp` ece.
Pour une forme plane, on associe un graphe `
a son squelette de la mani` ere suivante :
un sommet du graphe est, soit une extr´ emit´ e d’une branche du squelette, soit un point de
jonction de plusieurs branches. On a une arˆ ete entre deux sommets si les deux points du
squelette auxquels ils correspondent sont reli´ es par un morceau de courbe du squelette
sans autre sommet.
Dans l’analyse morphologique des formes planes, on voudra classifier comme diff´ erentes les formes planes dont les graphes de squelette sont non ´ equivalents. L’id´ ee de
Blum est qu’on devrait d´ efinir une nouvelle g´ eom´ etrie adapt´ ee ` a la description des
formes de la nature et bas´ ee sur la notion de point et de « croissance ». La croissance
` a partir de la fronti` ere nous am` ene naturellement ` a la notion de squelette de la forme.
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
Remarque sur la preuve Examinons un peu plus la structure de cette preuve. On a
pris un point X 0 ∈ R \ Σ(R). On s’est seulement servi de cette hypoth` ese pour affirmer
qu’il existe un unique point de la fronti` ere, X 1 , qui est le plus proche de X 0 . Mais
cette hypoth` ese est aussi v´ erifi´ ee par les points extrˆ emes du squelette, par exemple les
extr´ emit´ es du squelette de l’ellipse (voir l’exemple 4.9). On veut montrer que, pour
chaque X voisin de X 0 , il existe un unique point Y de la fronti` ere dont il est le plus
proche. Cette propri´ et´ e n’est plus vraie pour les points extrˆ emes du squelette. En effet,
un tel point extrˆ eme du squelette a des voisins sur le squelette pour lesquels la distance
minimale ` a la fronti` ere est r´ ealis´ ee en plusieurs points Y .
Remarque sur l’utilit´ e de la proposition 4.17 On a rencontr´ e beaucoup d’exemples
de domaines dont la fronti` ere est continue et seulement C
3 par morceaux, par exemple
des domaines polygonaux. Donc, l’hypoth` ese de la proposition 4.17 n’est pas v´ erifi´ ee.
Si on arrondit tr` es l´ eg` erement les coins d’une r´ egion dont la fronti` ere est de classe
C
3 par morceaux, alors la fronti` ere de la nouvelle r´ egion devient de classe C
3 , et la
m´ ethode s’applique. Il faut se convaincre que le « lissage » de la fronti` ere n’a pas chang´ e
significativement le squelette de la r´ egion, (voir l’exercice 18).
4.6 Les autres applications du squelette en science
Le squelette en morphologie La notion de squelette d’une r´ egion a ´ et´ e introduite
dans le contexte de la biologie th´ eorique par Harry Blum [1] pour d´ ecrire les formes de
la nature ou morphologie. Blum appelait le squelette « axe de sym´ etrie » de la figure.
En effet, lorsque les biologistes veulent d´ ecrire les formes de la nature, ils sont int´ eress´ es
` a d´ ecrire les diff´ erences de formes entre deux esp` eces. Or, `
a l’int´ erieur d’une mˆ eme
esp` ece, on observe d´ ej` a une tr` es grande variabilit´ e de formes. On a donc besoin de
trouver des propri´ et´ es caract´ eristiques de la forme de tous les individus d’une mˆ eme
esp` ece. Rappelons, par exemple, que le squelette d’une r´ egion plane est un graphe (voir
la d´ efinition 4.14). Les propri´ et´ es de ce graphe peuvent d´ ecrire une esp` ece animale si
les graphes de tous les individus de l’esp` ece sont ´ equivalents. Dans ce cas, on dira que
le graphe du squelette est un « invariant » de l’esp` ece.
Pour une forme plane, on associe un graphe `
a son squelette de la mani` ere suivante :
un sommet du graphe est, soit une extr´ emit´ e d’une branche du squelette, soit un point de
jonction de plusieurs branches. On a une arˆ ete entre deux sommets si les deux points du
squelette auxquels ils correspondent sont reli´ es par un morceau de courbe du squelette
sans autre sommet.
Dans l’analyse morphologique des formes planes, on voudra classifier comme diff´ erentes les formes planes dont les graphes de squelette sont non ´ equivalents. L’id´ ee de
Blum est qu’on devrait d´ efinir une nouvelle g´ eom´ etrie adapt´ ee ` a la description des
formes de la nature et bas´ ee sur la notion de point et de « croissance ». La croissance
` a partir de la fronti` ere nous am` ene naturellement ` a la notion de squelette de la forme.