4.5 Un algorithme num´ erique
141
D´ efinition 4.16 1. Soient U un ouvert de R
n et r ≥ 1. Une fonction
F = (f 1 , . . . , f m ) : U → R
m est de classe C
r si pour tout (i 1 , . . . , i r ) ∈ {1, . . . , n}
r et
pour tout j ∈ {1, . . . , m} la d´ eriv´ ee partielle
∂
r fj
∂xi 1 ···∂xi r
existe et est continue. Dans
le cas o` u r = 1, on dit aussi que la fonction est continˆ ument diff´ erentiable.
2. On dit qu’une courbe C de R
2 est de classe C
r si pour tout point X 0 de C, il existe
un voisinage U de X 0 dans R
2 et une fonction F : U → R de classe C
r tels que
C ∩ U = {X ∈ U |F (X) = 0}, et que le gradient de F ne s’annule pas sur U .
Proposition 4.17 Soit R une r´ egion telle que ∂R est de classe C
2 . Alors, la fonction
d(X) est de classe C
1 aux points de R\Σ(R). Le champ ∇d(X) est continu sur R\Σ(R).
Si, de plus, ∂R est de classe C
3 , alors ∇d(X) est de classe C
1 sur R \ Σ(R).
La preuve fait appel au th´ eor` eme des fonctions implicites qui est d’un niveau ´ elev´ e.
Pour ne pas couper le fil des id´ ees, on la retarde ` a la section 4.5.3. On peut aussi d´ ecider
d’accepter la preuve et se concentrer sur le reste de l’algorithme qui est d’un niveau
plus ´ el´ ementaire.
Examinons, par contre, la cons´ equence qui nous int´ eresse.
Proposition 4.18 En un point X ∈ R \ Σ(R), le champ de vecteurs V (X) est le
gradient ∇d(X) de la fonction d(X) d´ efinie en (4.3). C’est un vecteur de longueur 1.
Preuve Regardons un point X 0 ∈ R\Σ(R). Alors, B(X 0 , d(X 0 )) ⊂ R, et S(X 0 , d(X 0 ))
est tangent `
a ∂R en un unique point X 1 . Le gradient de d(X) en X 0 , ∇d(X 0 ), est dirig´ e
dans la direction o` u le taux de croissance de d(X) est le plus rapide. Nous allons nous
convaincre que cette direction est celle de la normale ` a ∂R, pointant vers l’int´ erieur de
R, soit la direction de la droite X 1 X 0 . En effet, la d´ eriv´ ee directionnelle de d dans la
direction d’un vecteur unitaire u est donn´ ee par ∇d(X 0 ), u, o` u ., . d´ enote le produit
scalaire. `
A l’´ echelle infinit´ esimale, on peut identifier un petit morceau de la fronti` ere
au voisinage de X 1 ` a un petit segment dans la direction du vecteur tangent v(X 1 ) ` a la
fronti` ere en X 1 . Donc, si on bouge X 0 dans la direction parall` ele ` a v(X 1 ), la d´ eriv´ ee
directionnelle de d(X 0 ) dans cette direction est nulle, puisque la fonction d est constante.
Alors, ∇d(X 0 ) est orthogonal ` a v(X 1 ), et donc, ∇d(X 0 ) est un multiple de X 0 − X 1 .
La longueur du vecteur ∇d(X 0 ) est donn´ ee par la d´ eriv´ ee directionnelle de d(X) en X 0
dans la direction du vecteur X 0 − X 1 . Sur cette droite, on a d(X) = |X − X 1 | tant que
X n’est pas sur le squelette. Comme on peut supposer X 1 constant, il est facile de faire
le calcul, et on voit que ∇d(X 0 ) =
X0−X1
|X0−X1| , qui est bien de longueur 1.
D´ efinition 4.19 On consid` ere un champ de vecteurs V (X) d´ efini sur une r´ egion R et
un cercle S(X 0 , r) param´ etr´ e par θ ∈ [0, 2π] : X(θ) = X 0 + r(cos θ, sin θ), tel que le
disque B(X 0 , r) soit inclus dans R. Soit N (θ) = (cos θ, sin θ) le vecteur unitaire normal
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D´ efinition 4.16 1. Soient U un ouvert de R
n et r ≥ 1. Une fonction
F = (f 1 , . . . , f m ) : U → R
m est de classe C
r si pour tout (i 1 , . . . , i r ) ∈ {1, . . . , n}
r et
pour tout j ∈ {1, . . . , m} la d´ eriv´ ee partielle
∂
r fj
∂xi 1 ···∂xi r
existe et est continue. Dans
le cas o` u r = 1, on dit aussi que la fonction est continˆ ument diff´ erentiable.
2. On dit qu’une courbe C de R
2 est de classe C
r si pour tout point X 0 de C, il existe
un voisinage U de X 0 dans R
2 et une fonction F : U → R de classe C
r tels que
C ∩ U = {X ∈ U |F (X) = 0}, et que le gradient de F ne s’annule pas sur U .
Proposition 4.17 Soit R une r´ egion telle que ∂R est de classe C
2 . Alors, la fonction
d(X) est de classe C
1 aux points de R\Σ(R). Le champ ∇d(X) est continu sur R\Σ(R).
Si, de plus, ∂R est de classe C
3 , alors ∇d(X) est de classe C
1 sur R \ Σ(R).
La preuve fait appel au th´ eor` eme des fonctions implicites qui est d’un niveau ´ elev´ e.
Pour ne pas couper le fil des id´ ees, on la retarde ` a la section 4.5.3. On peut aussi d´ ecider
d’accepter la preuve et se concentrer sur le reste de l’algorithme qui est d’un niveau
plus ´ el´ ementaire.
Examinons, par contre, la cons´ equence qui nous int´ eresse.
Proposition 4.18 En un point X ∈ R \ Σ(R), le champ de vecteurs V (X) est le
gradient ∇d(X) de la fonction d(X) d´ efinie en (4.3). C’est un vecteur de longueur 1.
Preuve Regardons un point X 0 ∈ R\Σ(R). Alors, B(X 0 , d(X 0 )) ⊂ R, et S(X 0 , d(X 0 ))
est tangent `
a ∂R en un unique point X 1 . Le gradient de d(X) en X 0 , ∇d(X 0 ), est dirig´ e
dans la direction o` u le taux de croissance de d(X) est le plus rapide. Nous allons nous
convaincre que cette direction est celle de la normale ` a ∂R, pointant vers l’int´ erieur de
R, soit la direction de la droite X 1 X 0 . En effet, la d´ eriv´ ee directionnelle de d dans la
direction d’un vecteur unitaire u est donn´ ee par ∇d(X 0 ), u, o` u ., . d´ enote le produit
scalaire. `
A l’´ echelle infinit´ esimale, on peut identifier un petit morceau de la fronti` ere
au voisinage de X 1 ` a un petit segment dans la direction du vecteur tangent v(X 1 ) ` a la
fronti` ere en X 1 . Donc, si on bouge X 0 dans la direction parall` ele ` a v(X 1 ), la d´ eriv´ ee
directionnelle de d(X 0 ) dans cette direction est nulle, puisque la fonction d est constante.
Alors, ∇d(X 0 ) est orthogonal ` a v(X 1 ), et donc, ∇d(X 0 ) est un multiple de X 0 − X 1 .
La longueur du vecteur ∇d(X 0 ) est donn´ ee par la d´ eriv´ ee directionnelle de d(X) en X 0
dans la direction du vecteur X 0 − X 1 . Sur cette droite, on a d(X) = |X − X 1 | tant que
X n’est pas sur le squelette. Comme on peut supposer X 1 constant, il est facile de faire
le calcul, et on voit que ∇d(X 0 ) =
X0−X1
|X0−X1| , qui est bien de longueur 1.
D´ efinition 4.19 On consid` ere un champ de vecteurs V (X) d´ efini sur une r´ egion R et
un cercle S(X 0 , r) param´ etr´ e par θ ∈ [0, 2π] : X(θ) = X 0 + r(cos θ, sin θ), tel que le
disque B(X 0 , r) soit inclus dans R. Soit N (θ) = (cos θ, sin θ) le vecteur unitaire normal