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4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
` a S(X 0 , r) en X(θ). Le flux du champ V (X) le long d’un cercle S(X 0 , r) est l’int´ egrale
de ligne
I =
2π
0
V (X(θ)), N(θ) dθ,
(4.4)
o` u V (X(θ)), N(θ) repr´ esente le produit scalaire de V (X(θ)) et N (θ).
Lemme 4.20 Le flux d’un champ de vecteurs constant V (X) = (v 1 , v 2 ) le long de tout
cercle S(X 0 , r) est nul.
Preuve
I =
2π
0
V (X(θ)), N(θ) dθ
=
2π
0 v 1 cos θ + v 2 sin θ dθ
= (−v 1 sin θ + v 2 cos θ)
2π
0
= 0.
Le lemme 4.20 nous fournit la clef pour d´ eterminer approximativement les points du
squelette. En effet, lorsqu’on est dans le voisinage d’un point X 0 loin du squelette et
qu’on prend de petits disques de fronti` ere S(X 0 , r), le champ de vecteurs V (X) sur le
disque B(X 0 , r) est presque constant. On peut donc se convaincre que son flux le long
du cercle S(X 0 , r) est tr` es petit. Par contre, il est facile de se convaincre que le flux est
important si le disque contient des points du squelette (exemple 4.21 ci-dessous).
Ce d´ efaut nous fournit notre test : pour d´ ecider si un point X ∈ R est sur le squelette,
on calcule (4.4) sur un petit cercle entourant X et contenu dans R. Si l’int´ egrale est
en de¸ c` a d’un certain seuil, on conclut que X n’est pas sur le squelette. Si l’int´ egrale
d´ epasse le seuil, on se doute que le petit cercle qu’on a consid´ er´ e contient des points du
squelette et on raffine la recherche.
Exemple 4.21 Les morceaux de courbes du squelette peuvent ressembler, `
a petite
´ echelle, `
a des segments de droite. Prenons le cas d’une portion de squelette qui est un
segment, par exemple un morceau de l’axe des x. Alors, on peut v´ erifier que le champ
V (X) est donn´ e par
V (x, y) =
(0, −1), y > 0,
(0, 1),
y < 0.
Si on regarde un cercle S(X 0 , r) centr´ e sur l’axe des x, on a
I =
π
0
− sin θ dθ +
2π
π
sin θ dθ = −4.
On peut v´ erifier que l’int´ egrale est encore non nulle si le cercle est centr´ e en dehors de
l’axe des x, mais contient des points de l’axe des x. Le calcul est seulement un peu plus
compliqu´ e. L’int´ egrale diminue au fur et ` a mesure que le centre du cercle s’´ eloigne de
l’axe des x.
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
` a S(X 0 , r) en X(θ). Le flux du champ V (X) le long d’un cercle S(X 0 , r) est l’int´ egrale
de ligne
I =
2π
0
V (X(θ)), N(θ) dθ,
(4.4)
o` u V (X(θ)), N(θ) repr´ esente le produit scalaire de V (X(θ)) et N (θ).
Lemme 4.20 Le flux d’un champ de vecteurs constant V (X) = (v 1 , v 2 ) le long de tout
cercle S(X 0 , r) est nul.
Preuve
I =
2π
0
V (X(θ)), N(θ) dθ
=
2π
0 v 1 cos θ + v 2 sin θ dθ
= (−v 1 sin θ + v 2 cos θ)
2π
0
= 0.
Le lemme 4.20 nous fournit la clef pour d´ eterminer approximativement les points du
squelette. En effet, lorsqu’on est dans le voisinage d’un point X 0 loin du squelette et
qu’on prend de petits disques de fronti` ere S(X 0 , r), le champ de vecteurs V (X) sur le
disque B(X 0 , r) est presque constant. On peut donc se convaincre que son flux le long
du cercle S(X 0 , r) est tr` es petit. Par contre, il est facile de se convaincre que le flux est
important si le disque contient des points du squelette (exemple 4.21 ci-dessous).
Ce d´ efaut nous fournit notre test : pour d´ ecider si un point X ∈ R est sur le squelette,
on calcule (4.4) sur un petit cercle entourant X et contenu dans R. Si l’int´ egrale est
en de¸ c` a d’un certain seuil, on conclut que X n’est pas sur le squelette. Si l’int´ egrale
d´ epasse le seuil, on se doute que le petit cercle qu’on a consid´ er´ e contient des points du
squelette et on raffine la recherche.
Exemple 4.21 Les morceaux de courbes du squelette peuvent ressembler, `
a petite
´ echelle, `
a des segments de droite. Prenons le cas d’une portion de squelette qui est un
segment, par exemple un morceau de l’axe des x. Alors, on peut v´ erifier que le champ
V (X) est donn´ e par
V (x, y) =
(0, −1), y > 0,
(0, 1),
y < 0.
Si on regarde un cercle S(X 0 , r) centr´ e sur l’axe des x, on a
I =
π
0
− sin θ dθ +
2π
π
sin θ dθ = −4.
On peut v´ erifier que l’int´ egrale est encore non nulle si le cercle est centr´ e en dehors de
l’axe des x, mais contient des points de l’axe des x. Le calcul est seulement un peu plus
compliqu´ e. L’int´ egrale diminue au fur et ` a mesure que le centre du cercle s’´ eloigne de
l’axe des x.